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過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 令和2年度入試では全部で５問出題されました。 そのうちの１番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。
令和2年度(2020)推薦入試[１]
問題
\( 5+\sqrt{3}\)の整数部分を\(a\)小数部分を\(b\)とすると，\(a=\boxed{ ア ~}~,~\dfrac{1}{b}=\frac{\sqrt{\boxed{ イ ~}}+\boxed{ ウ ~}}{\boxed{ エ ~}}\)である。また，\(\dfrac{b}{2}+\dfrac{1}{b}=\sqrt{\boxed{ オ ~}}\)であるから，\(\dfrac{b^3}{8}+\dfrac{1}{b^3}=\dfrac{\boxed{ カ ~}\sqrt{\boxed{ キ ~}}}{\boxed{ ク ~}}\)である。
久留米推薦（令和2年度入試）
解答
\(1<\sqrt3<2\)より\(6<5+\sqrt3<71.\)よって \begin{align*} a=6 \quad \quad \cdots \text{（答）} \end{align*} であり，\(b=\left( 5+\sqrt3 \right)-6=\sqrt3-1\)より \begin{align*} \dfrac{1}{b}&=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt3-1}\\ &=\dfrac{\sqrt3+1}{2} \quad \quad \cdots \text{（答）} \end{align*} である。また，\(\dfrac{b}{2}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{\sqrt3-1}{2}+\dfrac{\sqrt3+1}{2}=\sqrt3 \quad \cdots \text{（答）} \)であるから \begin{align*} \dfrac{b^3}{8}+\dfrac{1}{b^3}&=\left( \dfrac{b}{2} \right)^3+ \left( \dfrac{1}{b}\right)^3 \\ &=\left( \dfrac{b}{2}+\dfrac{1}{b}\right)^3-3\cdot \dfrac{b}{2}\cdot \dfrac{1}{b}\cdot \left( \dfrac{b}{2}+\dfrac{1}{b}\right) \\ &=\left( \sqrt3 \right)^3-3\cdot \dfrac12 \cdot \sqrt3 \\ &=\dfrac{3\sqrt3}{2} \quad \quad \cdots \text{（答）} \end{align*}
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