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過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 令和２年度入試では全部で５問出題されました。 そのうちの２番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。
令和２年度(2020)推薦入試[２]
問題
\(k\)を正の定数とし，座標平面上で表される円\(C:~x^2+y^2-8x-10y+36=0,~\)直線\(l:~2x-y+k=0\)を考える。
- 円\(C\)の中心の座標は\( \left( \boxed{ ケ ~} ,~\boxed{ コ ~} \right) \)であり，半径は\( \sqrt{\boxed{ サ ~}}\)である。
- 直線\(l\)が円\(C\)に接するとき，\(k=\boxed{ シ ~}\)であり，直線\(l\)と円\(C\)の接点の座標は\( \left( \boxed{ ス ~} ,~\boxed{ セ ~} \right) \)である。
久留米推薦（令和２年度入試）
解答
- \(x^2+y^2-8x-10y+36=0\)より\( (x-4)^2+(y-5)^2=5.\)
よって円\(C\)の中心の座標は\( (4,~5),~\)半径は\( \sqrt5 \)である。
- 直線\(l\)が円\(C\)に接するための条件は，円\(C\)の中心\((4,~5)\)と直線\(l\)との距離が\(C\)の半径\(\sqrt5\)に一致するときである。よって
\begin{align*}
\dfrac{|2\cdot4-5+k|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}&=\sqrt5 \\
|k+3|&=5 \\
k&=2,-8
\end{align*}
\(k>0\)より\(k=2. \quad \quad \cdots \text{（答）} \)
また，接点の座標は下図より\((2,~6). \quad \quad \cdots \text{（答）}\)
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