令和06年度(2024)久留米大学医学部推薦入試数学過去問の解説授業（１／５）

[mathjax]

この記事には，久留米大学医学部推薦入試過去問の詳しい解説が載っています。

過去問を通して久留米大学医学部の数学について学べるように，授業のような解説にしています。これまで勉強してきたことを整理し、あなたの数学力をレベルアップしましょう！

解答はすでにこちらの記事で示しております。

令和06年度(2024)久留米大学医学部推薦入試数学［１］

［１］基本だけど意外に手こずる？整数部分と小数部分

「どこかで見たような問題だし，楽勝だな」

そう思った人は多いと思います。ただ，意識しておかないと意外に手こずります。まずは解答を見てみましょう。どこで手こずるでしょうか？

外の数字をルートの中へ。逆の発想は意識しないと難しい

どこにも問題はなさそうですが・・・。

前半の分母の有理化については大丈夫でしょう。

有理化したことで
$$\frac{3}{2\sqrt{13}-7}=2\sqrt{13}+7$$
となりました。問題はこの後です。次のように解いてしまって，困った人はいませんか？

$3<\sqrt{13}<4$より，
$$\begin{array}{r}6<2\sqrt{13}<8\\ 6+7<2\sqrt{13}+7<8+7\\ 13<\frac{3}{2\sqrt{13}-7}<15\end{array}$$
したがって$\frac{3}{2\sqrt{13}-7}$の整数部分は・・・13?それとも14?

はい，答が出ませんでしたね。これは受験生がよくやるミスですが，計算に問題はないため，何がいけないのかわからず，オタオタしてしまう人もいるようです。

誰だってミスはします。ただ，ミスが起きたときは，同じミスが起きないようにするためにはどうすればいいのか，しっかり考えましょう。

今回のミスはどこにあったかというと，$3<\sqrt{13}<4$とした後，すべての辺を2倍して$6<2\sqrt{13}<8$としたところです。

3と4の間なら差は1ですが，6と8の間だと差が2に開いてしまっています。すると，正確な値がわからなくなってしまうのです。

そこでどうするかというと・・・解答を見れば$2\sqrt{13}=\sqrt{52}$として$\sqrt{52}$がどのくらいの数かを調べるところからスタートしてます。その後の計算過程には掛け算するところがないので，差が1のままで最後まで計算することができ，答がわかりました。

これは簡単なようで意外と難しいものです。なぜならば，いつもの思考とは逆になっているからです。というのも，ルートの計算をするとき，$\sqrt{8}$を$2\sqrt{2}$にすることはあっても，逆に$2\sqrt{2}$を$\sqrt{8}$にすることはあまりありません。いつもとは逆になっているからこそ，気付きにくいのです。

無理数の大きさを見積もるときに「外の数字をルートの中に入れる」というテクニックを，「差を1のままで計算するため」という理由とともに押さえておきましょう。

どのように計算しても答は出せるが・・・

次は(2)について，この問題を解くためには，まず「整数部分が5である」という問題文から式を立てなければなりません。解答を見てみましょう。

これは実数を，「（整数部分）＋（小数部分）」とみたときに，小数部分が0以上1未満であることを用いています。何ということはない式なのですが，ド忘れしてしまう受験生もいます。気をつけましょう。

次に注意するのは，この不等式の解き方です。
まずは正解から。

何も難しいことは無いようですが，油断してはいけません。次のように計算してドツボにハマる人もいます。

$$\begin{array}{r}5\leqq \frac{2}{a-\sqrt{7}}<6\\ 5\leqq \frac{2(a+\sqrt{7})}{(a-\sqrt{7})(a+\sqrt{7})}<6\\ 5\leqq \frac{2(a+\sqrt{7})}{a^2-7}<6\\ 5(a^2-7)\leqq 2(a+\sqrt{7})<6(a^2-7)\\ \cdots ???\end{array}$$

まあ計算自体に間違いはないので，これでも答えは出るでしょうが・・・無駄に時間がかかりそうです。

こう計算してしまった原因はどこにあるのでしょうか？

それは「分母にルートがあったら有理化する」という思い込みです。

もちろん，最終的な答の分母に無理数があれば，分母を有理化した方がいいと思います。

しかし，まだ答を求めている途中であれば，必ずしも有理化する必要はありません。有理化して計算するか，有理化しないで計算するか，簡単にできそうな方を選べばいいことです。

でもその検討をせずに，「とりあえず有理化！」と条件反射のように進めてしまうと，余計な時間を使ってしまうことがあります。こういうところが，考えて解いている人と考えずに解いている人の違いです。注意しましょう。

最後の難関，ルートの値がわからない・・・

無事，計算もできて，あとは不等式を満たす整数$a$を求めるだけですが・・・

さらっと書いていますが，途中で$\sqrt{7}=2,64575\cdots$を使っています。しかしこれを覚えている受験生はそういないでしょう。ここで断念した人もいたはずです。

ではこの問題は，$\sqrt{7}$の値を覚えていなければ解けないのでしょうか？

そうではありません。知らないことであっても，答えを導くためにできることは手を尽くしましょう。

例えば，$25\times 25=625$から${2.5}^2=6.25$すなわち$\sqrt{6.25}=2.5$です。つまり$\sqrt{7}$は2.5よりも大きい数であることがわかります。同様にして，$26\times 26=676,27\times 27=729$から$2.6<\sqrt{7}<2.7$とわかります。厳密ではありませんが，ここまでくれば答が$a=3$であると検討がつきます。

また，$\frac{1}{3}+\sqrt{7}<a\leqq \frac{2}{5}+\sqrt{7}$を通分すると
$$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{2+6\sqrt{7}}{6}}<a\leqq {\displaystyle \frac{2+5\sqrt{7}}{5}}\\ {\displaystyle \frac{2+\sqrt{252}}{6}}<a\leqq {\displaystyle \frac{2+\sqrt{175}}{5}}\end{array}$$
となりますので，これを使ってもいいでしょう。

$\sqrt{252}$を15より少し大きく16より小さい数，$\sqrt{175}$を13より大きく14より小さい数であることに気づくのは，さほど難しくありません。やってみてください。

知らない数であっても，大体どのくらいの数なのかは，見積もることができます。厳密に計算できなくても，答が絞り込めるところまでは頑張りましょう。

この問題のポイント

といったところです。

序盤の計算問題なので完答したいところです。

落ち着いてミスなく得点しましょう。