過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 令和06年度入試では全部で５問出題されました。 そのうちの５番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。
令和06年度(2024)推薦入試[５]
問題
〔問題1〕 和\( \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\)を求めよ。
【久米】これは第\(~k~\)項を差の形に変形することで和が求められる問題ですね。まず，\(a~\)を定数として，\(\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{a} \left( \frac{1}{2k-1} -\frac{1}{2k+1} \right)\)の形に変形するといいんですよね？
【先生】そうですね。
【久米】そして，\(\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{a} \left( \frac{1}{2k-1} -\frac{1}{2k+1} \right)\)の式に\(~k=1,~2,~3,~\cdots ,~n~\)を代入して，辺々を加えることで和\( ~\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}~\)が求められます。
【先生】では，和を求めてみましょう。
(2) \(~a~\)の値は，\(a=\boxed{~23~}\)であり，
\[
\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\boxed{~24~}
\]
である。ただし，\(\boxed{~24~}\)には\(\frac{n}{\boxed{\phantom{pp}}n+ \boxed{\phantom{pp}}}\)の\(\boxed{\phantom{pp}}\) に値を埋める形で答えよ。
〔問題2〕 和\( ~\sum\limits_{k=1}^n (k+1)\cdot 3^k~\)を求めよ。
【久米】 \( \sum\limits_{k=1}^n (k+1)\cdot 3^k~\)は，\(S_n=\sum\limits_{k=1}^n (k+1)\cdot 3^k~\)とおき，\(S_n-rS_n\)を計算して，\(S_n\)を求めます。
【先生】そのとおりです！よく勉強していますね。では，今回は別の方法でこの和を求めてみましょう。
【久米】はい。では，どのようにして解くのか，教えてください。
【先生】〔問題1〕で教えたように\(~ (k+1)\cdot 3^k~\)を「2数の差の形」で表すことを考えてみましょう。
【久米】2数の差の形？〔問題1〕の場合はわかりますが，この場合はちょっとわかりません・・・。
【先生】難しかったですか？ではこの問題の変形を教えます。ただし，あとの問題はこの変形を参考にして，考えてみましょう。
【久米】はい。この場合の変形を理解して，次からの問題で利用します。
【先生】では，この場合は，
\[
(k+1)\cdot 3^k=\left\{s(k+1)+t \right\}\cdot 3^{k+1}-(sk+t)\cdot 3^k
\]
となるような\(~s,~t~\)の値を求めます。わかりますか？この変形ができれば，〔問題1〕と同じように考えて，\( \sum\limits_{k=1}^n (k+1)\cdot 3^k\)を求めることができます。
【久米】やってみます！
(2) \(s,~t\)の値は，\(s=\boxed{~25~} , ~t=\boxed{~26~} \)であり，\[
\sum\limits_{k=1}^n (k+1)\cdot 3^k =\boxed{~27~}
\]である。
ただし，\(\boxed{~27~}\)には\(\dfrac{(2n+\boxed{\phantom{pp}})\cdot 3^{n+\square}-\boxed{\phantom{pp}}}{\boxed{\phantom{pp}}}\)の\(\boxed{\phantom{pp}}\)に値を埋める形で答えよ。
〔問題3〕和\( ~\sum\limits_{k=1}^n (k^2+k+1)\cdot 3^k~\)を求めよ。
【久米】この問題も〔問題2〕で教えてもらった考え方でできますか？
【先生】できます。しっかりと考えてみましょう。
【久米】はい！やってみます！
(3) \( ~\sum\limits_{k=1}^n (k^2+k+1)\cdot 3^k=\boxed{~28~}~\)である。
ただし，\(\boxed{~28~}\)には\(\dfrac{(2n^2+\boxed{\phantom{pp}})\cdot 3^{n+\square}-\boxed{\phantom{pp}}}{\boxed{\phantom{pp}}}\)の\(\boxed{\phantom{pp}}\)に値を埋める形で答えよ。
〔問題4〕 和\( ~\sum\limits_{k=1}^n \frac{3k+5}{(3k-1)(3k+2)\cdot 2^{k+1}}~\)を求めよ。
(4) \(~\sum\limits_{k=1}^n \frac{3k+5}{(3k-1)(3k+2)\cdot 2^{k+1}}=\boxed{~29~}\)である。
ただし，\(\boxed{~29~}\)には\(\dfrac{(3n+\boxed{\phantom{pp}})\cdot 2^{n-\square}-\boxed{\phantom{pp}}}{(3n+\boxed{\phantom{pp}})\cdot 2^{n+\square}}\)の\(\boxed{\phantom{pp}}\)に値を埋める形で答えよ。
久留米推薦（令和06年度入試）
解答
(1) \begin{align*}
\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac12 \left( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)
\end{align*}
であるから，\(a=2. \quad \cdots \textrm{（答）}\)
したがって
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=& \frac12 \sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right) \\
=& \frac12 \left( 1-\frac{1}{2n+1}\right) \\
=& \frac{n}{2n+1} \quad \cdots \textrm{（答）}{}
\end{align*}
(2) \[
(k+1)\cdot 3^k=\left( s(k+1)+t \right)\cdot 3^{k+1} – (sk+t)\cdot 3^k
\]
両辺を\(3^k\)で割って整理すると
\[
k+1=2sk+(3s+2t)
\]
これは\(k\)についての恒等式であるから
\begin{align*}
2s=1~ \text{かつ} ~3s+2t=1 \\
∴ s=\frac12,~t=-\frac14 \quad \cdots \textrm{（答）}
\end{align*}
したがって
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}(k+1)\cdot 3^k=& \sum_{k=1}^{n}\left\{ \left( \frac12(k+1)-\frac14 \right)\cdot 3^{k+1}-\left( \frac12k-\frac14 \right) \cdot 3^k \right\} \\
=& \left( \frac12(n+1)-\frac14\right) \cdot 3^{n+1}-\left( \frac12\cdot 1-\frac14\right)\cdot 3^1 \\
=& \frac{(2n+1)\cdot 3^{n+1}-3}{4} \quad \cdots \textrm{（答）}
\end{align*}
(3) \[
(k^2+k+1)\cdot 3^k=\left(s(k+1)^2+t(k+1)+u\right)\cdot 3^{k+1}-(sk^2+tk+u)\cdot 3^k
\]
両辺を\(3^k\)で割って整理すると
\[
k^2+k+1=2sk^2+(6s+2t)k+(3s+3t+2u)
\]
これは\(k\)についての恒等式であるから
\begin{align*}
2s=1~ \text{かつ} ~6s+2t=1 ~\text{かつ} ~3s+3t+2u=1\\
∴ s=\frac12,~t=-1,~u=\frac54
\end{align*}
したがって
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}(k^2+k+1)\cdot 3^k=& \sum_{k=1}^{n}\left\{ \left( \frac12(k+1)^2-(k+1)+\frac54 \right)\cdot 3^{k+1}-\left( \frac12k^2-k+\frac54 \right) \cdot 3^k \right\} \\
=& \left( \frac12(n+1)^2-(n+1)+\frac54\right) \cdot 3^{n+1}-\left( \frac12\cdot 1^2-1+\frac54\right)\cdot 3^1 \\
=& \frac{(2n^2+3)\cdot 3^{n+1}-9}{4} \quad \cdots \textrm{（答）}
\end{align*}
(4) \begin{align*}
\frac{1}{(3k-1)\cdot 2^k}-\frac{1}{(3k+2)\cdot 2^{k+1}}=& \frac{2(3k+2)-(3k-1)}{(3k-1)(3k+2)\cdot 2^{k+1}} \\
=& \frac{3k+5}{(3k-1)(3k+2)\cdot 2^{k+1}}
\end{align*}
したがって
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}\frac{3k+5}{(3k-1)(3k+2)\cdot 2^{k+1}}=& \sum_{k=1}^{n}\left\{ \frac{1}{(3k-1)\cdot 2^k}-\frac{1}{(3k+2)\cdot 2^{k+1}} \right\} \\
=& \frac{1}{2\cdot 2^1}-\frac{1}{(3n+2)\cdot 2^{n+1}} \\
=& \frac{(3n+2)\cdot 2^{n-1}-1}{(3n+2)\cdot 2^{n+1}} \quad \cdots \textrm{（答）}{}
\end{align*}
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