過去問で学ぶ推薦入試数学

平成28年度(2016)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答(3/5)

過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 平成28年度は全部で5問出題されました。 そのうちの3番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

平成28年度(2016)推薦入試[3]

問題

台形AOBCは,辺ACと辺OBが平行で,\(~\angle {\rm{AOB}}=\dfrac{\pi}{2}~\)となっている。辺OBは辺ACの3倍の長さとなっている。辺BCの中点をX,辺OBを4:5に内分する点をYとする。辺ACの長さを\(~r~\)とおき,\(~\overrightarrow{\rm{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\rm{OB}}=\vec{b}~\)とおく。

  1. \( \overrightarrow{\rm{AX}}~\)を\(~\vec{a},~\vec{b}~\)を用いて表せ。
  2. \( \overrightarrow{\rm{YX}}~\)を\(~\vec{a},~\vec{b}~\)を用いて表せ。
  3. \( \angle {\rm{AYX}}=\dfrac{\pi}{2}~\)となった場合,辺OAの長さはいくらか。

久留米推薦(平成28年度)

解答

(1) 上図より \[ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{OX}}=&\dfrac12\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\dfrac12 \overrightarrow{\mathrm{OC}} \\ =&\dfrac12 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\dfrac12 \left( \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{AC}} \right) \\ =&\dfrac12 \vec{b}+ \dfrac12 \left( \vec{a}+ \dfrac13 \vec{b} \right) \\ =& \dfrac12 \vec{a}+ \dfrac23 \vec{b} \end{align} \] したがって \[ \begin{align*} \overrightarrow{\rm{AX}}=&\overrightarrow{\rm{OX}}-\overrightarrow{\rm{OA}} \\ =&\left( \dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b} \right)-\vec{a} \\ =&-\dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b} \quad \cdots \text{(答)} \end{align*} \] (2) \[ \begin{align*} \overrightarrow{\rm{YX}}=&\overrightarrow{\rm{OX}}-\overrightarrow{\rm{OY}} \\ =&\left( \dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b} \right)-\dfrac{4}{9}\vec{b} \\ =&\dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{2}{9}\vec{b} \quad \cdots \text{(答)} \end{align*} \] (3) \( \angle {\rm{AYX}}=\dfrac{\pi}{2}~\)のとき,\(~\rm{AY} \perp \rm{YX}\)すなわち\(~\overrightarrow{\rm{AY}} \cdot \overrightarrow{\rm{YX}}=0~\)である。\(~\overrightarrow{\rm{AY}}=\overrightarrow{\rm{OY}}-\overrightarrow{\rm{OA}}=-\vec{a}+\dfrac{4}{9}\vec{b}~\)であるから \[ \begin{align*} \left( -\vec{a}+\dfrac{4}{9}\vec{b} \right)\cdot \left( \dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{2}{9}\vec{b} \right)=&0 \\ -\dfrac12 \left( \vec{a}-\dfrac{4}{9}\vec{b} \right)\cdot \left( \vec{a}+\dfrac{4}{9}\vec{b} \right)=&0 \\ |\vec{a}|^2-\dfrac{16}{81}|\vec{b}|^2=&0 \end{align*} \] \( |\vec{b}|=3r\)なので \[ \begin{align*} |\vec{a}|^2-\dfrac{16}{81}(3r)^2=&0 \\ |\vec{a}|^2=&\dfrac{16}{9}r^2 \end{align*} \] したがって \[ \mathrm{OA}=|\vec{a}|=\dfrac{4}{3}r \quad \cdots \text{(答)} \]

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