平成29年度(2017)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答(2/5)

過去問で学ぶ推薦入試数学

過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 平成29年度は全部で5問出題されました。 そのうちの2番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

平成29年度(2017)推薦入試[2]

問題

複素数\(~z~\)は方程式\(~z^3-3z^2+2z-24=0~\)を満たす。このとき,\(~z^5-39z^2-54z-160~\)の実部の最小値はいくらか。

久留米推薦(平成29年度)

解答

\(~z=4~\)は方程式の実数解であるから,方程式の左辺は\(~z-4~\)で割り切れる。 \[ \begin{align*} (z-4)(z^2+z+6)=0 \\ ∴ z=4, \ \frac{-1 \pm \sqrt{23}i}{2} \end{align*} \] \(~z=4~\)のとき, \[ \begin{align*} z^5-39z^2-54z-160=&4^5-39\cdot 4^2-54 \cdot 4-160 \\ =&24 \end{align*} \] \(~z=\frac{-1 \pm \sqrt{23}i}{2}\)のとき,\(z^2+z+6=0~\)であるから \[ \begin{align*} z^5-39z^2-54z-160=&(z^2+z+6)(z^3-z^2-5z-28)+4z+8 \\ =&4z+8 \\ =&4 \cdot \frac{-1 \pm \sqrt{23}i}{2} +8 \\ =&6 \pm 2\sqrt{23}i \end{align*} \] 実部のとりうる値は\(6, \ 24\)である。したがって実部の最小値は\(6\)

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