平成29年度(2017)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答(4/5)

過去問で学ぶ推薦入試数学

過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 平成29年度は全部で5問出題されました。 そのうちの4番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

平成29年度(2017)推薦入試[4]

問題

\(x>0 \),\(~y>0~\)のとき,\(~s=\log_{\frac{1}{2}}x\),\(~t=\log_{\frac{1}{2}}y~\)とおいて,次の4つの条件を考える。
  • 条件1:\(4x \leqq 1 \)
  • 条件2:\(y \leqq 16x^2 \)
  • 条件3:\(256x^2y \leqq 1 \)
  • 条件4:\( \log_{\frac{1}{2}} \left( xy^2 \right) \leqq 32 \)
このとき,次の問いに答えよ。簡単な形に出来る場合には,対数は整数や分数の形に直すこと。
  1. 条件1を満たす\(~s~\)の範囲はどのように表されるか。
  2. 条件2が成り立つとき,\(~t-2s~\)のとりうる範囲はどのように表されるか。ただし,\(~t>0~\)とする。
  3. 4つの条件がすべて成り立つとき,\( ~\log_{\frac{1}{2}}x +\log_{\frac{1}{2}}y ~\)の最大値はいくらか。
  4. 4つの条件がすべて成り立つとき,\( ~\log_{\frac{1}{2}}x +\log_{\frac{1}{2}}y ~\)が最小値をとるときの\(~x ~\)と\(~y~\)の値はいくらか。

久留米推薦(平成29年度)

解答

(1) 条件1より\( \quad x \leqq \frac{1}{4}. \) 底を\( ~\frac{1}{2}~\)として両辺の対数をとると \[ \begin{align*} \log_{\frac{1}{2}}x \geqq &\log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} \\ \therefore ~s \geqq &2 \qquad \cdots [1] \end{align*} \]

(2) 条件2について,底を\( ~\frac{1}{2}~ \)として両辺の対数をとると \[ \begin{align*} \log_{\frac{1}{2}}y \geqq &\log_{\frac{1}{2}}(16x^2) \\ \log_{\frac{1}{2}}y \geqq &2\log_{\frac{1}{2}}x + \log_{\frac{1}{2}}\left( \frac{1}{2} \right)^{-4} \\[6pt] t \geqq &2s-4 \qquad \cdots [2] \end{align*} \] \(st~ \)平面において,\(~t>0~\)かつ[2]を満たす領域は図の通り。 \(t-2s=k~\)とおくと\(~t=2s+k\) これは\(~st~\)平面において,傾き\(~2~\), \(~t~\)切片\(~k~\)の直線を表す。 したがって,\(~k=t-2s~\)のとりうる値の範囲は \begin{align*} t-2s \geqq -4 \end{align*}

(3) 条件3について,底を\( ~\frac{1}{2}~\)として両辺の対数をとると \begin{align*} \log_{\frac{1}{2}}(2^8 \cdot x^2y ) \geqq &\log_{\frac{1}{2}}1 \\ -8+2\log_{\frac{1}{2}}x +\log_{\frac{1}{2}}y \geqq &0 \\ -8+2s+t \geqq &0 \\ \therefore t \geqq &-2s+8 \qquad \cdots [3] \end{align*} 条件4より \begin{align*} \log_{\frac{1}{2}}x + 2\log_{\frac{1}{2}}y \leqq &32 \\ s+2t \leqq &32 \\ \therefore ~t \leqq &-\frac{1}{2}s+16 \qquad \cdots [4] \end{align*} \(st~\)平面において,[1]〜[4]を満たす領域は図の通り。 \(s+t=k~\)とおくと\(~t=-s+k\) これは\(~st~\)平面において,傾き\(~-1~\), \(~t~\)切片\(~k~\)の直線を表す。 \(k~\)が最大となるのは,この直線が点\( ~(8,~12)~ \)を通るときであるから,\( ~\log_{\frac{1}{2}}x +\log_{\frac{1}{2}}y=s+t~\)の最大値は\(~8+12=20.\)

(4) \(s+t~\)が最小となるのは,\(~(s,~t)=(3,~2)~\)のときであり,このとき \begin{align*} \log_{\frac{1}{2}}x=3 \qquad \text{かつ} \qquad \log_{\frac{1}{2}}y=2 \end{align*} したがって,\(~\log_{\frac{1}{2}}x +\log_{\frac{1}{2}}y\)が最小値をとるときの\(~x,~y~\)の値は \begin{align*} x=\frac{1}{8},~y=\frac{1}{4} \end{align*}

さらに詳しい解説授業もあります

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