過去問で学ぶ推薦入試数学

平成29年度(2017)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答(5/5)

過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 平成29年度は全部で5問出題されました。 そのうちの5番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

平成29年度(2017)推薦入試[5]

問題

平面において2定点A\(~(2,~4)~,~\)B\(~(1,~5)~\)と点P\(~(x,~y)~\)を考える。次の問いに答えよ。

  1. \(~|\overrightarrow{\rm{AP}}\cdot \overrightarrow{\rm{AP}} |=4~\)を満たす図形の方程式を求めよ。
  2. \(~|\overrightarrow{\rm{AP}}\cdot \overrightarrow{\rm{AP}} | \leqq 4~\)と\(~|\overrightarrow{\rm{AB}}\cdot \overrightarrow{\rm{AP}} | \leqq 2~\)を同時に満たす領域の面積を求めよ。

久留米推薦(平成29年度)

解答

(1)\(~\overrightarrow{\rm{AP}}=\overrightarrow{\rm{OP}}-\overrightarrow{\rm{OA}}=(x-2, \ y-4)~\)なので,\(~|\overrightarrow{\rm{AP}} \cdot \overrightarrow{\rm{AP}} |=4~\)より \[ \begin{align*} (x-2)^2 +(y-4)^2 =4 \end{align*} \]

(2)\(~|\overrightarrow{\rm{AP}}\cdot \overrightarrow{\rm{AP}} | \leqq 4~\)を満たす領域は,円\(~(x-2)^2 +(y-4)^2 =4~\)の周上および内部である。 \( \overrightarrow{\rm{AB}}=\overrightarrow{\rm{OB}}-\overrightarrow{\rm{OA}}=(-1,~1)~\)なので,\(~|\overrightarrow{\rm{AB}}\cdot \overrightarrow{\rm{AP}} | \leqq 2~\)より \[ \begin{align*} |-(x-2)+(y-4)| \leqq &~2 \\ |-x+y-2| \leqq &~2 \\ -2 \leqq -x+y-2 \leqq &~2 \\ x \leqq y \leqq &~x+4 \end{align*} \] この不等式を満たす領域は,直線\(~y=x~\)と直線\(~y=x+4~\)の間および2つの直線上である。 したがって,2つの不等式 \(~|\overrightarrow{\rm{AP}}\cdot \overrightarrow{\rm{AP}} | \leqq 4~\)と\(~|\overrightarrow{\rm{AB}}\cdot \overrightarrow{\rm{AP}} | \leqq 2~\)を同時に満たす領域は図の通りである。 求める面積を\(~S~\)とすると, \[ \begin{align*} S=&\text{(半径\(2\)の円の半分)}+ \text{(1辺の長さが\(2\)の正方形)} \\ =&4 \pi \cdot \frac{1}{2} +2 \cdot2 \\ =&2\pi +4 \end{align*} \]

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