過去問で学ぶ一般入試数学

平成30年度(2018)久留米大学医学部一般入試数学の過去問と解答(1/6)

過去問を利用して、久留米大学医学部一般入試の数学について学びましょう。

平成30年度は全部で6問出題されました。 そのうちの1番について、問題と解答を以下にまとめています。

さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

平成30年度(2018)一般入試[1]

問題

2次曲線\(~y=x^2~\)と円\( ~(x-a)^2+(y-b)^2=b^2~\)がただ1つの共有点Pをもち\( (a,b \text{は実数で}a>0,~b>0 \text{とする}).~ \)点Pと円の中心を通る直線の傾きが\( -\frac16~\)であるとき,点Pの座標の数値は\((x,~y)=\boxed{\large\phantom{ppppp}}\)で,\(b\)の値は\(\boxed{\large\phantom{ppppp}}\)である。

久留米推薦(平成30年度)

解答

点Pと円の中心を通る直線は,点Pにおける接線と垂直に交わる直線(法線)である。点Pにおける接線の傾きは\(~6~\)であるから,\(~y’=2x~\)より,点Pの\(~x~\)座標は\(~3.\)

したがって点Pの座標は\((x,~y~)=(3,~9). \quad \cdots \text{(答)}\)

点Pにおける法線の方程式は

\begin{align*} y=&-\frac16(x-3)+9 \\ =&-\frac16x+\frac{19}{2} \end{align*} これが円の中心\((a,~b)\)を通るので \begin{align} b=&-\frac16a+\frac{19}{2} \\ 6b=& -a+57 \\ a=& 57-6b \label{eq:ks301-1} \end{align}

点Pと円の中心との位置関係より,\(a>3,~0~\verb|<|~b~\verb|<|~9.\)

また,点P\((3,~9)\)は円\( ~(x-a)^2+(y-b)^2=b^2~\)上にあるので

\begin{align} (3-a)^2+(9-b)^2=b^2 \label{eq:ks301-2} \end{align}

\(a=57-6b~\)を代入して \begin{align*} (6b-54)^2+(9-b)^2=& b^2 \\ \left\{ 6(b-9) \right\}^2+(9-b)^2=& b^2 \\ 37(9-b)^2=& b^2 \\ \sqrt{37}(9-b)=& b~ (\therefore b>0,~9-b>0)\\ \left(\sqrt{37} +1 \right)b=& 9\sqrt{37} \\ b=&\frac{9\sqrt{37}}{\sqrt{37} +1} \\ =&\frac{37 -\sqrt{37}}{4} \quad \cdots \text{(答)} \end{align*}

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