過去問で学ぶ推薦入試数学

平成30年度(2018)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答(1/5)

過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 平成30年度は全部で5問出題されました。 そのうちの1番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

平成30年度(2018)推薦入試[1]

問題

等差数列\(\left\{a_n \right\}(n=1,~2,~3,~ \cdots )\)の第20項が\(30,~\)第40項が\(-90\)であり,\(S_n=\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n }a_i~\)であるとする。
  1. 一般項\(\left\{a_n \right\}\)を求めなさい。
  2. \(S_n\)を\(n\)を用いて表しなさい。
  3. \(S_n\)の最大値を求めなさい。

久留米推薦(平成30年度)

解答

(1)\( \quad \)初項を\( a_1,~\)公差を\(d\)とすると

\begin{align*} a_1+19d&=30 \quad &\cdots [1] \\ a_1+39d&=-90 \quad &\cdots [2] \end{align*}

[2]-[1]より

\begin{align*} 20d&=-120 \\ d&=-6 \end{align*} [1]より \begin{align*} a_1+19\cdot(-6)&=30 \\ a_1&=144 \end{align*} したがって \begin{align*} a_n&=144-6(n-1) \\ &=-6n+150 \quad \cdots \text{(答)} \end{align*}

(2)\( \quad\)初項から第\(n\)項までの和は

\begin{align*} S_n&=\displaystyle \frac {n(a_1+a_n)}{2} \\ &=\displaystyle \frac{n\left\{ 144+(-6n+150) \right\}}{2} \\ &=n(147-3n) \quad \cdots \text{(答)} \end{align*}

(3) \(\quad a_n \geqq 0 \) とすると

\begin{align*} -6n+150 &\geqq 0 \\ n &\leqq 25 \end{align*} よって\( S_n \)について \begin{align*} S_1 \lt S_2 \lt S_3 \lt \cdots \lt S_{24} =S_{25} \gt S_{26} \gt S_{27} \gt \cdots \end{align*} が成り立つ。したがって,\(S_n\)の最大値は \begin{align*} S_{24}=S_{25}=25(147-3\cdot 25)=1800 \quad \cdots \text{(答)} \end{align*}

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