過去問で学ぶ一般入試数学

平成30年度(2018)久留米大学医学部一般入試数学の過去問と解答(2/6)

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過去問を利用して、久留米大学医学部一般入試の数学について学びましょう。 平成30年度は全部で5問出題されました。 そのうちの2番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

平成30年度(2018)一般入試[2]

問題

関数\(f(n)\)は,\( f(n)=\displaystyle \lim{\scriptstyle{c \to \infty}} \left\{ \displaystyle \int_{0}^{c}x^{n-1}e^{-x}dx \right\} \)と定義されている。このとき,\( f(1)=\boxed{\Large\phantom{hogeho}},~\frac{f(n+1)}{f(n)}=\boxed{\Large\phantom{hogeho}},~f(n)=\boxed{\Large\phantom{hogeho}}\)である。ただし,\(c~\)は実数,\(n~\)は自然数であり,\(\displaystyle \lim{\scriptstyle{t \to \infty}}t^ke^{-t}=0~(k\text{は自然数}) \)とする。

久留米一般(平成30年度)

解答

\begin{align*} f(1)=& \lim{\scriptstyle{c \to \infty}}\int_{0}^{c}e^{-x}dx \\ =& \displaystyle \lim{\scriptstyle{c \to \infty}} \left[-e^{-x} \right]_{0}^{c} \\ =& \displaystyle \lim{\scriptstyle{c \to \infty}} \left(-e^{-c}+1 \right) \\ =& 1 \cdots \text{(答)} \end{align*} \(I(n)=\int_{0}^{c}x^{n-1}e^{-x}dx \)とおくと, \begin{align*} I(n+1)=&\int_{0}^{c}x^{n}(-e^{-x})’dx \\ =&\left[x^{n}(-e^{-x})\right]_{0}^{c}-n\int_{0}^{c}x^{n-1}(-e^{-x})dx \\ =& -{c^n}e^{-c}+nI(n) \end{align*} \( \displaystyle \lim{\scriptstyle{c \to \infty}}c^ne^{-c}=0~\)であるから, \begin{align*} f(n+1)=& \displaystyle \lim{\scriptstyle{c \to \infty}}I(n+1) \\ =& \displaystyle \lim{\scriptstyle{c \to \infty}} \left\{ -{c^n}e^{-c}+nI(n) \right\} \\ =& n \displaystyle \lim{\scriptstyle{c \to \infty}} I(n) \\ =& nf(n) \end{align*} \[ \therefore \quad \frac{f(n+1)}{f(n)}=n \quad \cdots \text{(答)} \] したがって \begin{align*} f(n)=&(n-1)f(n-1) \\ =&(n-1)(n-2)f(n-2) \\ =&(n-1)(n-2)\cdots 2 \cdot 1 \cdot f(1) \\ =&(n-1)! \quad \cdots \text{(答)} \end{align*}

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