平成30年度(2018)久留米大学医学部一般入試数学の過去問と解答(3/6)

過去問で学ぶ一般入試数学

過去問を利用して、久留米大学医学部一般入試の数学について学びましょう。 平成30年度は全部で6問出題されました。 そのうちの3番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

平成30年度(2018)一般入試[3]

問題

関数\(~f(x)~\)は,\(f(x)=ax^2+2(a-2)x+3a-2~\)と定義されている。ただし,\(~a~\)は実数で\(~a \leqq 0~\)とする。
  1. \(f(x)~\)が2次関数であるとき,頂点の\(~x~\)の座標を\(~a~\)を用いて表すと\(\boxed{\Large\phantom{ppp}}\)である。
  2. \(-2 \leqq x \leqq 2~ \)における\(~f(x)~\)の最大値は\(\boxed{\Large\phantom{pppp}}\)である。
  3. 方程式\(~f(x)=0~\)が実数解をもつとき,\(-2 \leqq x \leqq 2~ \)における\(~f(x)~\)の最小値は\(~a=\boxed{\Large\phantom{pppp}}\)のとき\(\boxed{\Large\phantom{pppp}}\)である。

久留米一般(平成30年度)

この問題は出題ミスであり,久留米大学も\( (3) \)については認めています。しかし,私は\( (2) \)についてもおそらく出題ミスであろうと推測しています。とりあえず解答を記しますが,私の見解など詳しいことは,解説授業でお伝えいたします。

解答

  1. \(a<0 \)とする。 \begin{align*} f(x)=a \left\{ x-\left( \frac{2-a}{a} \right) \right\}^2+\frac{2a^2+2a-4}{a} \end{align*} したがって,頂点の\(x~\)座標は\( \frac{2-a}{a}. \quad \cdots \text{(答)} \)
  2. \([1]~a=0\)のとき
    \( \qquad f(x)=-4x-2~\)であるから,\(f(x)~\)の最大値は\(~f(-2)=6~\)である。

    \([2]~a<0\)のとき
    \( \qquad f(x)~\)は上に凸の2次関数であり,軸について \[ x=\frac{2-a}{a}=\frac{2}{a}-1 <-1 \]

    \(\quad ~(i)~\) \(\frac{2-a}{a}<-2 \) すなわち \( -2 < a < 0~ \)のとき 
    \( \qquad f(x)~\)の最大値は\(~f(-2)=3a+6~ \cdots [1]~\)である。

    \(\quad ~(ii)~\) \(-2 \leqq \frac{2-a}{a}<-1~ \) すなわち \(~a \leqq -2~\)のとき 
    \( \qquad f(x)~\)の最大値は\(~f(\frac{2-a}{2})=\frac{2a^2+2a-4}{a} ~\)である。

    式\([1]\)は,\(~a=0~\)のとき\(~6~\)となるので、\(~a=0~\)のときも成り立つ。以上より

    \( -2 < a \leqq 0 \) のとき\(~\) 最大値 \(~3a+6\) ,\( a \leqq -2~\) のとき \(~\) 最大値 \(\frac{2a^2+2a-4}{a} \quad \cdots \text{(答)} \)

  3. \(a=0~\)のとき,\(f(x)=-4x-2~\)であるから方程式\(~f(x)=0~\)は実数解をもつ。このとき,\(f(x)~\)の最小値は\(~f(2)=-10.~\)
    \( \quad a<0~\)のとき,方程式\(~f(x)=0~\)が実数解をもつ条件は,頂点の\(~y~\)座標が\(~0~\)以上となることであるから \begin{align*} \frac{2a^2+2a-4}{a} \geqq 0 \quad &\text{かつ} \quad a<0\\ a^2+a-2 \leqq 0 \quad &\text{かつ} \quad a<0\\ (a+2)(a-1) \leqq 0 \quad &\text{かつ} \quad a<0\\ -2 \leqq a < 0 \end{align*} このとき,軸の位置に注意すると\(~f(x)~\)の最小値は \begin{align} f(2)=11a-10 \cdots [2] \end{align}

    式\([2]\)は\(~a=0~\)とすると\(~-10~\)となるので,\(a=0~\)のときも成り立つ。よって\(-2\leqq a \leqq 0~\)のとき,\(~f(x)~\)の最小値は\(~11a-10~\)となる。

    これを\(~a~\)の関数\(~g(a)=11a-10~\)としたとき,\(g(a)~\)は\(~a=-2~ \)のとき,最小値\(~g(-2)=-32~ \cdots \)(答)をとる。

さらに詳しい解説授業もあります

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