平成30年度(2018)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答(3/5)

過去問で学ぶ推薦入試数学

過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 平成30年度は全部で5問出題されました。 そのうちの3番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

平成30年度(2018)推薦入試[3]

問題

\(\angle{\rm{BAC}}=60^{\circ},~\rm{AB}=8,~\rm{AC}=3\)である\(\angle{\rm{ABC}}\)の内心を\(\rm{I}\)とする。\(\triangle{\rm{ABC}}\)において,\(\angle{\rm{BAC}}\)の二等分線と辺\(\rm{BC}\)の交点を\(\rm{D}\)とする。\(\overrightarrow{\rm{AB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\rm{AC}}=\vec{c}\)とする。
  1. 辺BCの長さを求めなさい。
  2. 点Dは辺BCをどのような比で内分するか答えなさい。
  3. \(\overrightarrow{\rm{AI}}を\vec{b},~\vec{c}\)を用いて表しなさい。

久留米推薦(平成30年度)

解答

(1)\( \quad \)余弦定理より

\begin{align*} \rm{BC}^2&=8^2+3^2-2\cdot 8\cdot 3\cdot \cos 60^{\circ} \\ &=49 \\ \therefore \rm{BC}&=7 \quad \cdots \text{(答)} \end{align*}

(2)\( \quad \) 線分\(\rm{AD}\)は,\(\angle{\rm{BAC}}\)の二等分線なので

\[ \rm{BD}:\rm{DC}=\rm{AB}:\rm{AC}=8:3 \]

\(\quad \)したがって,点\(\rm{D}\)は辺\(\rm{BC}\)を\(8:3\)に内分する点である。\(\quad \cdots \text{(答)}\)

(3) \( \quad \) (2)より

\begin{align*} \rm{BD}=\frac{8}{8+3}\times \rm{BC}=\frac{8}{11} \times 7=\frac{56}{11} \end{align*}

また,\(\rm{BI}\)は,\(\angle{\rm{ABD}}\)の二等分線なので

\[ \rm{AI}:\rm{ID}=\rm{BA}:\rm{BD}=8:\frac{56}{11}=11:7 \]

したがって

\begin{align*} \overrightarrow{\rm{AI}}&=\frac{11}{11+7}\overrightarrow{\rm{AD}} \\ &=\frac{11}{18}\times \left( \frac{3}{11}\vec{b}+\frac{8}{11}\vec{c} \right) \\ &=\frac16\vec{b}+\frac49\vec{c} \quad \cdots \text{(答)} \end{align*}

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