過去問で学ぶ推薦入試数学

平成30年度(2018)久留米大学医学部推薦入試数学過去問の解説授業(3/5)

この記事には,久留米大学医学部の過去問の詳しい解説が載っています。過去問を通して久留米大学医学部の数学について学べるように,授業のような解説にしています。これまで勉強してきたことを整理し、あなたの数学力をレベルアップしましょう!

解答はすでにこちらの記事で示しております。

平成30年度(2018)久留米大学医学部推薦入試数学[3]

公式を使うだけの問題は絶対に正解しよう

(1)は余弦定理を使うだけのサービス問題です。計算ミスせずに確実に点数を確保しましょう。

(1)\( \quad \)余弦定理より

\begin{align*} \rm{BC}^2&=8^2+3^2-2\cdot 8\cdot 3\cdot \cos 60^{\circ} \\ &=49 \\ \therefore \rm{BC}&=7 \quad \cdots \text{(答)} \end{align*}

余弦定理を使えない人はあまりいないと思いますが,余弦定理の証明ができない人は多いでしょう。

久留米大学医学部の一般入試で証明問題が出題されたことはありません。しかし推薦入試では,例えば「正弦定理を証明せよ」という問題が出題されたことがあります。

公式については一通り証明できるようになっておきましょう。

(2)\( \quad \) 線分\(\rm{AD}\)は,\(\angle{\rm{BAC}}\)の二等分線なので

\[ \rm{BD}:\rm{DC}=\rm{AB}:\rm{AC}=8:3 \]

\(\quad \)したがって,点\(\rm{D}\)は辺\(\rm{BC}\)を\(8:3\)に内分する点である。\(\quad \cdots \text{(答)}\)

(2)も角の二等分線に関する公式を利用するだけの問題です。確実に解きましょう。また,この公式の証明もできるようになっておきましょう。

三角形の内心を表すベクトルは,角の二等分線の公式を2回使う

三角形の内心は,三角形の内角それぞれの二等分線の交点です。ですから,角の二等分線の公式を2回使うことで内心の位置を求めることができます。

(3) \( \quad \) (2)より

\begin{align*} \rm{BD}=\frac{8}{8+3}\times \rm{BC}=\frac{8}{11} \times 7=\frac{56}{11} \end{align*}

また,\(\rm{BI}\)は,\(\angle{\rm{ABD}}\)の二等分線なので

\[ \rm{AI}:\rm{ID}=\rm{BA}:\rm{BD}=8:\frac{56}{11}=11:7 \]

したがって

\begin{align*} \overrightarrow{\rm{AI}}&=\frac{11}{11+7}\overrightarrow{\rm{AD}} \\ &=\frac{11}{18}\times \left( \frac{3}{11}\vec{b}+\frac{8}{11}\vec{c} \right) \\ &=\frac16\vec{b}+\frac49\vec{c} \quad \cdots \text{(答)} \end{align*}

三角形の重心・内心・外心・垂心については,図形的な性質を明確に押さえておきましょう。それぞれの位置を表すベクトル方程式の問題は頻出です。

この問題のポイント

振り返ってみましょう。

この問題が解けるかどうかのポイントは、

  1. 余弦定理を使えるか
  2. 角の二等分線の公式が使えるか
  3. 内心の位置ベクトルを求めることができるか

です。余裕があれば,公式の証明まで出来るようになりましょう。

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