過去問で学ぶ推薦入試数学

平成31年度(2019)久留米大学医学部推薦入試数学過去問の解説授業(1/5)

この記事には,久留米大学医学部推薦入試過去問の詳しい解説が載っています。過去問を通して久留米大学医学部の数学について学べるように,授業のような解説にしています。これまで勉強してきたことを整理し、あなたの数学力をレベルアップしましょう!

解答はすでにこちらの記事で示しております。

平成31年度(2019)久留米大学医学部推薦入試数学[1]

要注意!過去問では学べない”データの分析”

データの分析は,現行課程から加わった新しい分野です。全国的に過去問が少ない上,久留米大学医学部の入試ではこれまでデータの分析は出題されてきませんでした。

しかし,今回データの分析から出題されたことで,今後は対策が必要となります。 おそらく,「平均値」「中央値」「分散」「共分散」「相関係数」などの基本計算が主になるでしょう。

基本的な計算をマスターし,この問題のようにデータの一部が不明な場合なども,計算できるようにしておきましょう。

中央値を場合分けして求めるところがポイント

  データは\(~6,~9,~12,~21,~24,~a~\)である。
  1. データの平均値が\(18\)であるから \begin{align*} \frac{6+9+12+21+24+a}{6}&=18 \\ 72+a&=18 \times 6 \\ \therefore \quad a&=36 \qquad \cdots \text{(答)} \end{align*}
  2. \([1]~a < 9~\)のとき
    \(\quad\) 中央値は\(\frac{9+12}{2}\)であるから \begin{align*} \frac{9+12}{2}&=\frac{72+a}{6} \\ 21 \times 3 &=72+a \\ a&=-9 \end{align*} \(\quad\) \(a>0\)であるから不適。

     

    \([2]~9\leqq a \leqq 21~\)のとき 
    \(\quad\) 中央値は\(\frac{a+12}{2}\)であるから \begin{align*} \frac{a+12}{2}&=\frac{72+a}{6} \\ 3(a+12) &=72+a \\ a&=18 \end{align*} \(\quad\) これは\(9\leqq a \leqq 21~\)を満たす。

     

    \([3]~21 < a\)のとき 
    \(\quad\) 中央値は\(\frac{12+21}{2}\)であるから \begin{align*} \frac{12+21}{2}&=\frac{72+a}{6} \\ 33 \times 3 &=72+a \\ a&=27 \end{align*} \(\quad\) これは\(21 \le a \)を満たす。

     

    \([1],~[2],~[3]\)より,\(\qquad\) \(a=18,~27 \quad \qquad \cdots \text{(答)} \)

 

中央値は,文字通り「中央の値」であるが,データの個数が偶数であるときは,真ん中の2つのデータの平均となります。

したがって,\([1]~a < 9~\)のとき,\([2]~9\leqq a \leqq 21~\)のとき,\([3]~21 < a\)のとき,で場合分けすることになります。

\([1]~a < 9~\)のときは,データを小さい順に並べると\(a,6,9,12,21,24\)または\(6,a,9,12,21,24\)となり,どちらにしても中央値は\(9\)と\(12\)の平均値です。

\([2]~9\leqq a \leqq 21~\)のときは,データを小さい順に並べると\(6,9,a,12,21,24\)または\(6,9,12,a,21,24\)となり,どちらにしても中央値は\(a\)と\(12\)の平均値です。

\([3]~21 < a\)のときは,データを小さい順に並べると\(6,9,12,21,a,24\)または\(6,9,12,21,24,a\)となり,どちらにしても中央値は\(12\)と\(21\)の平均値です。

それぞれ中央値を求め,平均値\( \frac{72+a}{6}\)と等しい,という式を立てて計算します。場合分けさえできれば,計算は簡単なので完答して欲しいところです。

記述特有のポイント

この問題に限らず,場合分けしたときに大切なことは,場合分けした条件について確認することです。

今回の問題で言えば,「\( [3]~ 21 < a \) のとき」で場合分けして計算した後,「これは \( 21 < a \)を満たす。」と書いてあるところです。

場合分けとは,ある条件の下で計算しているのだから,最後に出てきた数字が条件を満たすかどうかを確認しなければなりません。記述のときには減点対象となる可能性があるので,きちんと記述する癖を付けておきましょう。

また,場合分けしたすべてについて計算し終わったら,最後に答えをまとめておきましょう。場合分けしたところで答えは分かりますが,結局答えは何か,を最後に示すのは,解答を作る上で大切なことです。最後にまとめることを気がけましょう。

この問題のポイント

振り返ってみましょう。この問題のポイントは、
 
  • 平均値を求めることができるか
  • 中央値を場合分けして求めることができるか
  • 場合分けしたときの条件を確認しているか
  • 最後に答えをまとめているか
といったところです。できなかったところがある人は,復習しておきましょう。

※誤植やミスを見つけた方は,ぜひお知らせください。

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