平成31年度(2019)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答(2/5)

過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 平成31年度入試では全部で5問出題されました。 そのうちの2番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

平成31年度(2019)推薦入試[2]

問題

次の(1),\(~\)(2)の問いに答えよ。
  1. \(~2019~\)の正の約数をすべて求めよ。
  2. 不定方程式\(~2019x+31y=1~\)を満たす自然数\(~x~\),整数\(~y~\)の組のうち,\(~x~\)の値が最小であるものを求めよ。

久留米推薦(平成31年度入試)

解答

  1. \(~2019=3\times 673~\)より,\(~2019~\)の正の約数は \begin{align*} 1,~3,~673,~2019~ \qquad \cdots \text{(答)} \end{align*}
  2. \(~2019x+31y=1~\cdots [1]~\)を満たす整数解の一つとして,\(~x=8,~y=-521~\)がある。よって \begin{align*} 2019 \cdot 8 + 31 \cdot (-521)=1 \quad \cdots [2] \end{align*} \([1]-[2]~\)より \begin{align*} 2019(x-8)+31(y+521)&=0 \\ 31(y+521)&=2019(8-x) \end{align*} \(2019~\)と\(~31~\)は互いに素であるから,\(x,~y~\)がともに整数のとき,\(8-x~\)は\(~31~\)の倍数であり,\(y+521~\)は\(~2019~\)の倍数である。したがって整数\(~k~\)を用いて \begin{align*} 8-x=31k,~y+521=2019k \\ \therefore \quad x=8-31k,~y=-521+2019k \end{align*} \(~x~\)が自然数のとき,\(x\geqq 1~\)であるから \begin{align*} 8-31k \geqq 1 \\ k \leqq \frac{7}{31} \end{align*} したがって,\(x~\)の値が最小となるのは\(~k=0~\)のときであり,このとき \begin{align*} x=8,~y=-521 \qquad \cdots \textrm{(答)} \end{align*}

 

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