平成31年度(2019)久留米大学医学部推薦入試数学過去問の解説授業(3/5)

この記事には,久留米大学医学部推薦入試過去問の詳しい解説が載っています。

過去問を通して久留米大学医学部の数学について学べるように,授業のような解説にしています。

これまで勉強してきたことを整理し、あなたの数学力をレベルアップしましょう!

解答はすでにこちらの記事で示しております。

平成31年度(2019)久留米大学医学部推薦入試数学[3]

次も出題されるか?領域と最大最小問題は頻出!

平成31年度(2019)入試でも,領域と最大最小問題は出題されました。
久留米大学医学部の推薦入試においては,かなり頻度が高い分野と言えるでしょう。

マスターしてしまえば,ほとんどの問題に対応できますので,ぜひこの分野には精通しておきましょう。

\(=k~\)などと置くことから始めよう

与えられた不等式より

\begin{align*}
(x-2)^2+(y-2)^2\leqq 4
\end{align*}

座標平面においてこの不等式を満たす実数\(~x,~y~\)が存在する領域\(~D~\)は,中心A\((2,~2)\),半径が\(~2~\)の円の円周上および内部である。

  1. \(d^2=(x-5)^2+(y-6)^2~(d \leqq 0)\)とおくと,\(d~\)は点P\((x,~y)~\)と点B\((5,~6)~\)との距離BPを表す。

「○○の最大値を求めよ」などとあったら,「\(=k\)」などと置くことは知っているでしょう。

ただ,ここでは「\(=d^2\)」と置きました。こう置いておけば,\(d~\)は距離を表すことがはっきりするからです。

ただし,求めるのは\(~d^2~\)のとりうる値の範囲,すなわち「距離の2乗」のとりうる値の範囲であることに注意しましょう。

もちろん,ここは「\(=d\)」と置いても構いません。

その場合は,距離は\(~\sqrt{d},~\)距離の2乗は「\(d\)」となります。どちらも注意すべきことに変わりはありませんので,好みの方を選びましょう。

図形的に考えて最大最小を調べる

BPが最大となるのは3点B\(,~\)A\(,~\)P\(~\)がこの順に一直線上に並ぶときであり,BPが最小となるのは3点B\(,~\)P\(,~\)A\(~\)がこの順に一直線上に並ぶときである。

AB\(=\sqrt{(5-2)^2+(6-2)^2}=5~\)であり,円の半径は\(~2~\)であるから

\begin{align*}
\rm{AB}-2 &\leqq d \leqq \rm{AB}+2 \\
3 &\leqq d \leqq 7 \\
9 &\leqq d^2 \leqq 49
\end{align*}
したがって,\((x-5)^2+(y-6)^2\)のとりうる値の範囲は
\begin{align*}
9 \leqq (x-5)^2+(y-6)^2 \leqq 49 \qquad \cdots \text{(答)}
\end{align*}

BPが最大または最小となるのは,円の中心を通る直線上に3点が並ぶときです。図形的に解くことで,処理を簡単にすることができます。

なお,\(x=2\cos \theta +2~\)と\(~y=2\sin \theta +2~\)とおいて三角関数の最大最小問題として解くこともできます。やや計算が煩雑ではありますが,意欲がある人はチャレンジしてみましょう。

出題者の意図,誘導を読み取れれば簡単か

    まず\(~3x+4y~\)のとりうる値の範囲を調べる。
    \(3x+4y=k~\)とおくと,これは座標平面において直線\(~3x+4y-k=0~\)を表す。この直線が領域\(~D~\)と共有点をもつ条件は,円の中心Aと直線との距離が半径\(~2~\)以下であることである。よって
    \begin{align*}
    \frac{|3\cdot 2+ 4\cdot 2-k|}{\sqrt{3^2+4^2}} \leqq 2 \\
    |k-14| \leqq 10 \\
    -10 \leqq k-14 \leqq 10 \\
    4 \leqq k \leqq 24
    \end{align*}
    \(k~\)の値がこの範囲で動くとき,
    \begin{align*}
    (3x+4y)^2-14(3x+4y)^2+50&=k^2-14k+50 \\
    &=(k-7)^2+1
    \end{align*}
    は,\(~k=7~\)のとき最小値\(~1~\)をとり,\(k=24~\)のとき最大値\(~290~\)をとる。
    \begin{align*}
    \therefore \quad 1 \leqq (3x+4y)^2-14(3x+4y)^2+50 \leqq 290 \qquad \cdots \text{(答)}
    \end{align*}

式\(~(3x+4y)^2-14(3x+4y)^2+50~\)を展開してはいけません。出題者が,なぜこの形で与えたのかを考えましょう。

\(3x+4y=k~\)とおくことで,\((3x+4y)^2-14(3x+4y)^2+50~\)が\(~k~\)の2次関数となります。あとは,\(k~\)のとりうる値の範囲を調べれば答えが出ます。

\(k~\)のとりうる値の範囲は,やはり図形的な処理をすればわかりやすいでしょう。直線と円の位置関係,つまり点と直線の距離を調べることで,\(~k=3x+4y~\)のとりうる値の範囲がわかります。

(ここは,連立した2次方程式が実数解をもつ条件を求める方法もあります。)

出題者の意図が分かれば,あとはよくある手順です。ミスなく解きましょう。

この問題のポイント

振り返ってみましょう。この問題のポイントは、

  1. 不等式が表す領域を求めることができるか
  2. \(=k~\)などと置く解き方に精通しているか
  3. 出題者の意図を読み取ることができるか

といったところです。よく出題されるところなので,類題をたくさん解いて慣れておきましょう。

※誤植やミスを見つけた方は,ぜひお知らせください。

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