平成31年度(2019)久留米大学医学部推薦入試数学過去問の解説授業(4/5)

過去問で学ぶ推薦入試数学

この記事には,久留米大学医学部推薦入試過去問の詳しい解説が載っています。

過去問を通して久留米大学医学部の数学について学べるように,授業のような解説にしています。これまで勉強してきたことを整理し、あなたの数学力をレベルアップしましょう!

解答はすでにこちらの記事で示しております。

平成31年度(2019)久留米大学医学部推薦入試数学[4]

推薦入試では頻出!”整数”と”数列”

最近の出題傾向として,いわゆる新課程になって加わった比較的新しい分野からの出題が多くなっていることが挙げられます。

この年の問題で言えば,大問1”データの分析”,大問2”整数の性質”がそうで,さらにこの大問4も,解答例では合同式を使っているので”整数の性質”の分野に入りそうです。

久留米大学医学部の推薦試験対策として,そのあたりの分野に力を入れることを考えておきましょう。

合同式なら簡単に解ける

合同式については,習ったことがない,という受験生もいるかもしれません。

初めは難しく感じるかもしれませんが,理解できればとても簡単に解くことができます。これまで合同式を敬遠してきた人は,推薦入試までにぜひマスターしておきましょう。

合同式を用いて証明する。 \begin{align*} a_n &=6^{n+2}+7^{2n+1} \\ &=6^{n+2}+7^{2n}\cdot 7^1 \\ &=6^n\cdot 6^2+49^n \cdot 7 \\ &\equiv 6^n \cdot 36+6^n \cdot 7 \pmod{43} \\ &=6^n(36+7) \\ &=6^n \cdot 43 \\ &\equiv 0 \pmod{43} \end{align*} したがって,すべての自然数\(n\)に対して\(a_n\)が\(43\)で割り切れることが示された。

すべての整数は,ある数で割ったときの余りで分類することができます。

二つの整数についてその余りが同じとき,つまり余りで分類したときに二つの整数が同じグループに属しているとき,その二つの整数を\(\equiv\)で結んだ式のことを合同式といいます。

解答の3行目から4行目を見てみましょう。

\(49\)と\(6\)が置き換わっているのがわかります。これは,\( \mod 43\),つまり\(43\)で割ったときの余りについて,\(49\)と\(6\)が同じグループに属しているからです。

足し算,引き算,かけ算で表された式であれば,このように数字を小さくしていくことが可能です。それだけ理解していれば,簡単ですね。

解法は他にもある

もちろん他にも解法はあります。

\(a_{n}\)を直接変形してもいいし,もちろん数学的帰納法も有効です。

数学では複数の解法があることが普通なので,出会ったときに複数の解法を勉強し,その中で早く正確に解ける適切な解法を,すばやく選べるようになりましょう。

この問題のポイント

振り返ってみましょう。

この問題のポイントは、

  1. 合同式を用いることができるか
  2. 複数の解法で解くことができるか

といったところです。苦手なところかもしれませんが,理解すると解答時間を少なくすることができます。何より面白いところですので,頑張りましょう。

※誤植やミスを見つけた方は,ぜひお知らせください。

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