令和02年度(2020)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答(2/5)

過去問で学ぶ推薦入試数学

過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 令和2年度入試では全部で5問出題されました。 そのうちの2番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

令和2年度(2020)推薦入試[2]

問題

\(k\)を正の定数とし,座標平面上で表される円\(C:~x^2+y^2-8x-10y+36=0,~\)直線\(l:~2x-y+k=0\)を考える。

  1. 円\(C\)の中心の座標は\( \left( \boxed{  ケ  ~} ,~\boxed{  コ  ~} \right) \)であり,半径は\( \sqrt{\boxed{  サ  ~}}\)である。
  2. 直線\(l\)が円\(C\)に接するとき,\(k=\boxed{  シ  ~}\)であり,直線\(l\)と円\(C\)の接点の座標は\( \left( \boxed{  ス  ~} ,~\boxed{  セ  ~} \right) \)である。

久留米推薦(令和2年度入試)

解答

  1. \(x^2+y^2-8x-10y+36=0\)より\( (x-4)^2+(y-5)^2=5.\)

    よって円\(C\)の中心の座標は\( (4,~5),~\)半径は\( \sqrt5 \)である。

  2. 直線\(l\)が円\(C\)に接するための条件は,円\(C\)の中心\((4,~5)\)と直線\(l\)との距離が\(C\)の半径\(\sqrt5\)に一致するときである。よって \begin{align*} \dfrac{|2\cdot4-5+k|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}&=\sqrt5 \\ |k+3|&=5 \\ k&=2,-8 \end{align*}

    \(k>0\)より\(k=2. \quad \quad \cdots \text{(答)} \)

    また,接点の座標は下図より\((2,~6). \quad \quad \cdots \text{(答)}\)

 

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