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過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 令和2年度入試では全部で5問出題されました。 そのうちの3番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。
令和2年度(2020)推薦入試[3]
問題
第6項が11，第25項が49である等差数列\( \left\{ a_n \right\} \)と，第3項が18，第6項が486である等比数列\( \left\{ b_n \right\} \)がある。
- \( \left\{ a_n \right\} \),\( \left\{ b_n \right\} \)の一般項はそれぞれ\( a_n=\boxed{ ソ ~} n -\boxed{ タ ~} ,~b_n=\boxed{ チ ~} \cdot \boxed{ ツ ~} ^{~n-1}\)である。
- \(c_n=a_nb_n\)で定められる数列\( \left\{ c_n \right\} \)において，初項から第\(n\)項までの和を\( S_n=\boxed{ テ ~} \cdot \boxed{ ト ~} ^{~n} \left( n-\boxed{ ナ ~} \right)+\boxed{ ニ ~} \)である。
久留米推薦（令和2年度入試）
解答
-
等差数列\(\left\{a \right\} \)の初項を\(a,~\)公差を\(d\)とおくと，
\begin{align*}
a+5d=&11 \text{かつ} a+24d=49 \\
a=&1,~d=2 \\
\therefore a_n=&1+2(n-1)=2n-1 \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
等比数列\(\left\{ b \right\} \)の初項を\(b,~\)公比を\(r\)（\(r\)は実数）とおくと，
\begin{align*} br^2=&18 \text{かつ} br^5=486 \\ b=&2,~r=3 \\ \therefore b_n=&2\cdot 3^{n-1} \quad \cdots \text{（答）} \end{align*} - \(c_n=a_nb_n=2(2n-1)\cdot 3^{n-1}\)であるから， \begin{align*} S_n=& 2 \left\{ 1\cdot 1+3\cdot 3+5\cdot 3^2+7\cdot 3^3+\cdots +(2n-1)\cdot 3^{n-1} \right\} \cdots [1]\\ 3S_n=& 2 \left\{ \qquad \quad 1\cdot 3+3\cdot 3^2+5\cdot 3^3+\cdots +(2n-3)\cdot3^{n-1}+(2n-1)\cdot 3^{n} \right\} \cdots [2] \end{align*} \([1]-[2]\)より \begin{align*} -2S_n=& 2 \left\{ 1+2\cdot 3+2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+ \cdots +2\cdot3^{n-1}-(2n-1)\cdot 3^n \right\}\\ S_n=& -\left\{ 2+2\cdot 3+2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+ \cdots +2\cdot3^{n-1}-(2n-1)\cdot 3^n -1 \right\}\\ =& -\dfrac{2(3^n-1)}{3-1}+(2n-1)\cdot 3^n+1 \\ =& -(3^n-1)+(2n-1)\cdot3^n+1 \\ =& 2(n-1)\cdot3^n+2 \quad \cdots \text{（答）} \end{align*}
解答欄の形より，\(r\)は実数として解いた。本来，問題文に「公比が実数である数列」と入れておくべきだろう。
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