過去問で学ぶ推薦入試数学

令和02年度(2020)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答(3/5)

過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 令和2年度入試では全部で5問出題されました。 そのうちの3番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

令和2年度(2020)推薦入試[3]

問題

第6項が11,第25項が49である等差数列\( \left\{ a_n \right\} \)と,第3項が18,第6項が486である等比数列\( \left\{ b_n \right\} \)がある。

  1. \( \left\{ a_n \right\} \),\( \left\{ b_n \right\} \)の一般項はそれぞれ\( a_n=\boxed{  ソ  ~} n -\boxed{  タ  ~} ,~b_n=\boxed{  チ  ~} \cdot \boxed{  ツ  ~} ^{~n-1}\)である。
  2. \(c_n=a_nb_n\)で定められる数列\( \left\{ c_n \right\} \)において,初項から第\(n\)項までの和を\( S_n=\boxed{  テ  ~} \cdot \boxed{  ト  ~} ^{~n} \left( n-\boxed{  ナ  ~} \right)+\boxed{  ニ  ~} \)である。

久留米推薦(令和2年度入試)

解答

  1. 等差数列\(\left\{a \right\} \)の初項を\(a,~\)公差を\(d\)とおくと, \begin{align*} a+5d=&11 \text{かつ} a+24d=49 \\ a=&1,~d=2 \\ \therefore a_n=&1+2(n-1)=2n-1 \quad \cdots \text{(答)} \end{align*}

    等比数列\(\left\{ b \right\} \)の初項を\(b,~\)公比を\(r\)(\(r\)は実数)とおくと,

    \begin{align*} br^2=&18 \text{かつ} br^5=486 \\ b=&2,~r=3 \\ \therefore b_n=&2\cdot 3^{n-1} \quad \cdots \text{(答)} \end{align*}
  2. 解答欄の形より,\(r\)は実数として解いた。本来,問題文に「公比が実数である数列」と入れておくべきだろう。
  3. \(c_n=a_nb_n=2(2n-1)\cdot 3^{n-1}\)であるから, \begin{align*} S_n=& 2 \left\{ 1\cdot 1+3\cdot 3+5\cdot 3^2+7\cdot 3^3+\cdots +(2n-1)\cdot 3^{n-1} \right\} \cdots [1]\\ 3S_n=& 2 \left\{ \qquad \quad 1\cdot 3+3\cdot 3^2+5\cdot 3^3+\cdots +(2n-3)\cdot3^{n-1}+(2n-1)\cdot 3^{n} \right\} \cdots [2] \end{align*} \([1]-[2]\)より \begin{align*} -2S_n=& 2 \left\{ 1+2\cdot 3+2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+ \cdots +2\cdot3^{n-1}-(2n-1)\cdot 3^n \right\}\\ S_n=& -\left\{ 2+2\cdot 3+2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+ \cdots +2\cdot3^{n-1}-(2n-1)\cdot 3^n -1 \right\}\\ =& -\dfrac{2(3^n-1)}{3-1}+(2n-1)\cdot 3^n+1 \\ =& -(3^n-1)+(2n-1)\cdot3^n+1 \\ =& 2(n-1)\cdot3^n+2 \quad \cdots \text{(答)} \end{align*}

 

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