[mathjax]
この記事には，久留米大学医学部推薦入試過去問の詳しい解説が載っています。
過去問を通して久留米大学医学部の数学について学べるように，授業のような解説にしています。これまで勉強してきたことを整理し、あなたの数学力をレベルアップしましょう！
解答はすでにこちらの記事で示しております。
令和02年度(2020)久留米大学医学部推薦入試数学［４］
位置ベクトルの問題だけど，メネラウスで解こう
平面ベクトルの問題で，点の位置を求める定番問題です。ベクトルの係数比較で解くのが本筋ですが，実戦的にはメネラウスの定理を使った方が素早く解けます。
メネラウスの定理より
\begin{align*}
\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}\cdot \dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PE}}\cdot \dfrac{\mathrm{EC}}{\mathrm{CA}}=& 1 \\
\dfrac43\cdot \dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PE}}\cdot \dfrac13=& 1 \\
\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PE}}=& \dfrac94 \\
\therefore \mathrm{BP:PE}=& 9:4
\end{align*}
したがって
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AP}}=&\dfrac{4}{13}\overrightarrow{\textrm{AB}}+\dfrac{9}{13}\overrightarrow{\textrm{AE}} \\
=&\dfrac{4}{13}\overrightarrow{\textrm{AB}}+\dfrac{9}{13}\left( \dfrac23\overrightarrow{\textrm{AC}} \right) \\
=&\dfrac{4}{13}\overrightarrow{\textrm{AB}}+\dfrac{6}{13}\overrightarrow{\textrm{AC}}\\
=&\dfrac{4\overrightarrow{\textrm{AB}}+6\overrightarrow{\textrm{AC}}}{13} \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
もちろん，ベクトルの相同いわゆる係数比較で解くこともできますので，そちらも記しておきます。これも大事な解法なので，マスターしておきましょう。
したがって
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AP}}=&\dfrac{4}{13}\overrightarrow{\textrm{AB}}+\dfrac{9}{13}\overrightarrow{\textrm{AE}} \\
=&\dfrac{4}{13}\overrightarrow{\textrm{AB}}+\dfrac{9}{13}\left( \dfrac23\overrightarrow{\textrm{AC}} \right) \\
=&\dfrac{4}{13}\overrightarrow{\textrm{AB}}+\dfrac{6}{13}\overrightarrow{\textrm{AC}}\\
=&\dfrac{4\overrightarrow{\textrm{AB}}+6\overrightarrow{\textrm{AC}}}{13} \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
\(\textrm{BP：PE}=s:(1-s)\)とおくと
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AP}}=&(1-s)\overrightarrow{\textrm{AB}}+s\overrightarrow{\textrm{AE}} \\
=&(1-s)\overrightarrow{\textrm{AB}}+s\left( \frac23 \overrightarrow{\textrm{AC}} \right)\\
=&(1-s)\overrightarrow{\textrm{AB}}+\frac23 s \overrightarrow{\textrm{AC}}
\end{align*}
また，\(\textrm{DP：PC}=t:(1-t)\)とおくと
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AP}}=&(1-t)\overrightarrow{\textrm{AD}}+t\overrightarrow{\textrm{AC}} \\
=&(1-t) \left( \frac47 \overrightarrow{\textrm{AB}} \right) +t \overrightarrow{\textrm{AC}} \\
=&\frac47 (1-t)\overrightarrow{\textrm{AB}}+t \overrightarrow{\textrm{AC}}
\end{align*}
\(\overrightarrow{\textrm{AB}}\)と\( \overrightarrow{\textrm{AC}}\)は一次独立であるから，係数を比較して
\begin{align*}
\begin{cases}
~ 1-s&=\dfrac47 (1-t) \\
~ \dfrac23s&= t
\end{cases}
\end{align*}
これを解いて\(s=\dfrac{9}{13},~t=\dfrac{6}{13}.~~\)よって，
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AP}}=\dfrac{4\overrightarrow{\textrm{AB}}+6\overrightarrow{\textrm{AC}}}{13} \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
“3点が一直線上にある”は，ベクトルの実数倍
次に，点Qについての位置ベクトルを求めます。これは，角の2等分線の公式を知っていれば，難なく求めることができます。
問題は次です。
「3点A，P，Qが一直線上にある」ということは，どう読み替えればいいでしょうか。
ここはすぐに，「\(\overrightarrow{\textrm{AP}}=k\overrightarrow{\textrm{AQ}}\)を満たす実数\(k\)が存在する」いわゆるベクトルの実数倍の式で表せることであること，に気付いて欲しいところです。
また，\(\textrm{AQ}\)は\(\angle{\textrm{BAC}}\)の二等分線なので\(\textrm{BQ}:\textrm{QC}=\textrm{AB}:\textrm{AC}=6:4\)であり，
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AQ}}=&\dfrac{4\overrightarrow{\textrm{AB}}+6\overrightarrow{\textrm{AC}}}{10}
\end{align*}
である。したがって，
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AP}}=&\dfrac{4\overrightarrow{\textrm{AB}}+6\overrightarrow{\textrm{AC}}}{13} \\
=&\dfrac{10}{13}\cdot \dfrac{4\overrightarrow{\textrm{AB}}+6\overrightarrow{\textrm{AC}}}{10} \\
=&\dfrac{10}{13}\overrightarrow{\textrm{AQ}} \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
となるので，3点\(\textrm{A, P, Q} \)は一直線上にある。
この問題のポイント
振り返ってみましょう。
この問題が解けるかどうかのポイントは、
- 位置ベクトルを求める解法をマスターしているか
- メネラウスの定理を用いることができるか
- 3点が一直線上にあることを，ベクトルの式で表現できるか
※誤植やミスを見つけた方は，ぜひお知らせください。