この記事には，久留米大学医学部推薦入試過去問の詳しい解説が載っています。
過去問を通して久留米大学医学部の数学について学べるように，授業のような解説にしています。これまで勉強してきたことを整理し、あなたの数学力をレベルアップしましょう！
解答はすでにこちらの記事で示しております。
令和3年度(2021)久留米大学医学部推薦入試数学［５］
新傾向！共通テストみたいな数列の問題
この問題にはびっくりしました。
先生と花子さんが会話しながら進んでいく，共通テストみたいな問題だったからです。
問題を作成するにあたって，最近の高校の状況などを調べている証拠です。とても誠実な対応である，と感服しました。
というのも，数年前までの久留米大学は，問題作成についてあまり誠実ではない，という印象が強かったからです。出題ミスを指摘してもそれを認めなかったり，同じミスを数年ごとに繰り返したり・・・。
しかしここ数年に関しては良い問題になってきましたし，今回の問題で誠実に作成されていることがわかりました。受験生にとってはとてもいいことだと思います。今後も期待しています。
ルールを読み取り，直線ごとに格子点を数える
\((2)~\) \(x+y=40~\)までの格子点の個数は
\begin{align*}
T_{40}=&\frac12\cdot 41 \cdot 42 \\
=& 861
\end{align*}
よって\(~x+y=40~\)上の最後の点は861番目の点\((40,~0)\)である。したがって\(~x+y=41~\)上の最初の点は862番目\(\quad \cdots \textrm{（答）} \)の点であり，その座標は\((41,~0)\)である。\\
点\((20,~21)\)は\(~x+y=41~\)上の22番目の点であり，
\begin{align*}
T_{40}+22=& 861+22 \\
=& 883
\end{align*}
であるから，点\((20,~21)\)は883番目\(\quad \cdots \textrm{（答）} \)の点である。
まずは，ルールを読み取りましょう。規則に従って番号をふっていくと，\(2,~3,~4\)番目あたりはすぐにわかりますね。
ただ，数が多くなってくると，具体的に書き並べるだけでは時間が足りません。何か手がかりはないでしょうか。
先生と花子さんの会話から，直線\(~x+y=41,~x+y=40~\)の上にある点について考えていることがわかります。
そこで，\(x+y=k~(k=0,~1,~2,~\cdots)\)上にある点を数えてみましょう。すると，\(k=0~\)のとき\(~1~\)個，\(k=1~\)のとき\(~2~\)個，\(k=2~\)のとき\(~3~\)個，\(\cdots \cdots ~\)となることから，直線\(~x+y=k~\)上にある点の個数は\(~k+1~\)個であることがわかります。
よって，\(x+y=n~\)までのすべての直線上にある点の個数を\(~T_n~\)とすると \begin{align*} T_n=&1+2+3+ \cdots +(n+1) \\ =&\sum_{k=0}^{n}(k+1) \\ =&\frac12(n+1)(n+2) \end{align*} となります。
花子さんの言葉に「\(x+y=40~\)の最後の点が何番目の点かがわかればいい」とありますが，これは\(~T_{40}~\)番目の点ですから，\(T_{40}=\frac12\cdot 41 \cdot 42 = 861~ \)番目の点とわかります。
直線\(~x+y=40~\)は，\(40~\)が偶数ですから，番号を右下がりに振っていくことになります。よって最後の\(~861~\)番は点\(~(40,~0)~\)です。
ということは，次の直線\(~x+y=41~\)の最初の点\(~(41,~0)~\)は\(~862~\)番であることがわかります。
直線\(~x+y=41~\)には番号を点\(~(41,~0)~\)から順に左上に振っていきますので，点\(~(20,~21)~\)は直線\(~x+y=41~\)の\(~22~\)番目の点です。よって\(~T_{40}+22=861+22=883~\)番目の点とわかります。
おおまかに近い数字を探す
次は\(2021\)番目の点ですが，どの直線上の点にあるかを考えます。そのために，\(T_n~\)のうち\(2021\)に近いものを探します。
すると\(T_{62}=\frac12 \cdot 63 \cdot 64=2016\)が見つかりますので，\(2021\)番目の格子点は\(~x+y=62~\)の次の直線\(~x+y=63~\)上の\(~2021-2016=5~\)番目の点です。
このあたりは，計算でスパッと出す，というより，泥臭く近い数字を探すことになります。整数を扱う問題では，こういう手を動かして考える，泥臭い手法も必要です。覚えておきましょう。
直線\(~x+y=63~\)には，点\(~(63,~0)~\)から順に左上に番号をふっていくので，求める\(~2021~\)番目の点は点\(~(59,~4)~\)であることがわかります。
具体的な数から一般化する
\(x~\)軸上の点\(~(0,~0),~(2,~0),~(4,~0),~ \cdots \)は，直線\(~x+y=0,~x+y=2,~x+y=4,~\cdots \)の最後の点(右端の点)ですから，振られた番号は\(T_0,~T_2,~T_4,~ \cdots \)です。よって，点\((2k,~0)\)の番号は\(T_{2k}\)であり，その隣の点\((2k+1,~0)\)の番号は\(T_{2k}+1\)です。
一般化していることがわかるでしょうか。具体的な数をいくつか調べることで，できるようになりますので，練習しておきましょう。
あとは，\(x~\)軸上の点を\(~(0,~0)~\)から順に二つずつ組にして足し合わせれば答えが出ます。計算の途中で，ミスをしないよう注意しましょう。
この問題のポイント
振り返ってみましょう。
この問題が解けるかどうかのポイントは、
- ルールを間違えずに読み取ることができる
- 直線ごとに点を数えることに気付くことができる
- 狙った数字に近い数字を探すことができる
- 具体的な数から一般化して考えることができる
といったところです。
数列が苦手な人には少し難しいかもしれませんが，具体的な数から一般化して計算することを学びましょう。
共通テストのような会話型の問題にも慣れておきましょう。
※誤植やミスを見つけた方は，ぜひお知らせください。
