令和04年度(2022)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答(2/5)

推薦入試

過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 令和04年度入試では全部で5問出題されました。 そのうちの2番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

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令和04年度(2022)推薦入試[2]

問題

  1. 1〜6の番号が1つずつ書かれた6個の球を,A, B, C と書かれた箱に入れるとき,箱に入る球の個数が1個,2個,3個となるような入れ方は\( \boxed{\Large\phantom{ppp}} \)通りである。ただし,箱に入る球の個数が決まっているだけで,どの箱に何個の球を入れるかが決まっているわけではない。
  2. 1〜6の番号が1つずつ書かれた6個の球を,A,B,Cと書かれた箱に入れるとき,箱に入れる球の個数が1個,1個,4個となるような入れ方は\( \boxed{\Large\phantom{ppp}} \)通りである。ただし,箱に入る球の個数が決まっているだけで,どの箱に何個の球を入れるかが決まっているわけではない。
  3. 区別のできない6個の球を,何も書かれていない区別のできない3つの箱に空箱ができないように入れるとき,その入れ方は\( \boxed{\Large\phantom{ppp}} \)通りである。
  4. 1〜6の番号が1つずつ書かれた6個の球を,何も書かれていない区別のできない3つの箱に入れるとき,箱に入る球の個数が2個ずつとなるような入れ方は\( \boxed{\Large\phantom{ppp}} \)通りである。
  5. 区別のできない6個の球を,A,B,Cと書かれた箱に空箱ができないように入れるとき,その入れ方は\( \boxed{\Large\phantom{ppp}} \)通りである。
  6. 1〜6の番号が1つずつ書かれた6個の球を,A,B,Cと書かれた箱に空箱ができないように入れるとき,その入れ方は\( \boxed{\Large\phantom{ppp}} \)通りである。

久留米推薦(令和04年度入試)

  1. Aに1個,Bに2個,Cに3個を入れるとすると,その入れ方は \begin{align*} _6 \textrm{C} _1 \times _5\textrm{C} _2 \times _3\textrm{C} _3=60 \text{(通り)} \end{align*} どの箱に何個の球を入れるかは\( 3!=6 \)通りあるから,求める入れ方は \begin{align*} 60 \times 6 =360 \text{(通り)} \cdots \text{(答)} \end{align*}
  2. Aに1個,Bに1個,Cに4個を入れるとすると,その入れ方は \begin{align*} _6 \textrm{C} _1 \times _5 \textrm{C} _1 \times _4 \textrm{C} _4=30 \text{(通り)} \end{align*} どの箱に何個の球を入れるかは\( \frac{3!}{2}=3 \)通りあるから,求める入れ方は \begin{align*} 30 \times 3 =90 \text{(通り)} \cdots \text{(答)} \end{align*}
  3. 箱も球も区別できないので,個数のみを考慮して3つの組に分けると \begin{align*} (1,~1,~4),~(1,~2,~3),~(2,~2,~2) \end{align*} の3(通り)。\(\cdots \text{(答)}\)
  4. 箱に区別があるとして球を2個ずつ入れる入れ方は \begin{align*} _6 \textrm{C} _2 \times _4 \textrm{C} _2 \times _2 \textrm{C} _2=90 \text{(通り)} \end{align*} 実際には箱に区別がないので,重複して数えている\( 3!=6~\)通りで割らなければならない。したがって求める場合の数は \begin{align*} \frac{90}{6}=15 \text{(通り)} \cdots \text{(答)} \end{align*}
  5. 求める場合の数は,6個の〇を並べ、そのすき間5カ所のうちに仕切りを2カ所入れる入れ方と1対1に対応している。よって \begin{align*} _5 \textrm{C} _2 =10 \text{(通り)} \cdots \text{(答)} \end{align*}
  6. (1),(2)で,区別のできる6個の球を区別できるA,B,Cの箱に「1個,2個,3個」入れる入れ方と「1個,1個,4個」入れる入れ方はそれぞれ360通り,90通りとわかっている。あとは,「2個,2個,2個」と入れる入れ方を数えればよい。
    それは,A,B,Cの順に2個ずつ入れると考えて \begin{align*} _6 \textrm{C} _2 \times _4 \textrm{C} _2 \times _2 \textrm{C} _2=90 \text{(通り)} \end{align*} したがって \begin{align*} 360+90+90=540 \textrm{(通り)} \cdots \text{(答)} \end{align*} 【別解】

    6個の球を,A,~B,~C, いずれかの箱に入れると考えると,球の入れ方は\(3^6=729\)通り。

    このうち,空き箱が2箱であるのは3通りである。

    空き箱が1箱であるのは,どの箱が空き箱かで3通りで,その一つ一つについて,球を2箱に入れる入れ方は\( 2^6-2=62\)通り,すなわち\(3 \times 62=186\)通りである。

    したがって求める場合の数は \( 729-(3+186)=540 \)(通り)\(\cdots \text{(答)}\)である。

 

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