過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 令和05年度入試では全部で4問出題されました。 そのうちの１番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。
令和05年度(2023)推薦入試[１]
問題
\(x\)の方程式\((\log_2x)^2-|\log_2x^3|-\log_2x=\log_2(x \cdot 2^k) \quad \cdots \) [a]（\(k\)は定数）について，
(1) \(k=6\)のときの方程式[a]の実数解は\(x=\boxed{\Large\phantom{ppppp}} \)である。
(2) 方程式 [a]の実数解が1個となるような\(~k~\)の値は\(~k=\boxed{\Large\phantom{ppppp}} \)であり，その解は\(~x=\boxed{\Large\phantom{ppppp}} \)である。
(3) 方程式[a]の異なる実数解が4個となるような\(~k~\)の値の範囲は\(~k=\boxed{\Large\phantom{ppppp}} \)であり，このときの実数解を\(~\alpha ,~\beta,~\gamma,~\delta~\)とするとき，この4つの解の積\(~\alpha \beta\gamma\delta~\)の値は\(\boxed{\Large\phantom{ppppp}} \)である。
久留米推薦（令和05年度入試）
解答
\(~~\) 真数条件より \(~x>0.\)
方程式[a]より
\begin{align*} (\log_2x)^2-3|\log_2x|-\log_2x=\log_2x +k \\ (\log_2x)^2-3|\log_2x|-2\log_2x=k \end{align*}
\(\log_2x=t\)とおくと \[ t^2-3|t|-2t=k \quad \cdots [1] \] \(\log_2x=t\)より\(~x~\)と\(~t~\)は1対1に対応する。したがって，\(~x~\)についての方程式[a]の解の個数と\(~t~\)についての方程式\([1]\)の解の個数は一致する。
(1) \(k=6~\)とする。
(i) \(t \geqq 0\)のとき，\([1]\)より
\begin{align*} t^2-5t-6= & 0 \\ (t+1)(t-6)= & 0 \\ t= & 6 \quad (\therefore t \geqq 0) \\ \log_{2}x= & 6 \\ x= & 2^6=64 \end{align*}
(ii) \(t < 0\)のとき，\([1]\)より
\begin{align*} t^2+t-6= & 0 \\ (t+3)(t-2)= & 0 \\ t= & -3 \quad (\therefore t < 0) \\ \log_{2}x= & -3 \\ x= & 2^{-3}=\dfrac{1}{8} \end{align*}
以上より，\(x=\dfrac18,~64 \quad \text{（答）}\)
(2) \(f(t)=t^2-3|t|-2t\)とおく。
\(x\)についての方程式[a]の実数解が1個となるための条件は，\(t\)についての方程式\([1]\)の実数解が1個となることであり，すなわち\(~y=f(t)~\)のグラフと\(~y=k~\)のグラフが共有点を1個だけもつことである。
\(y=f(t)=\begin{cases} t^2-5t & (t \geqq 0) \\ t^2+t & (t < 0)\end{cases}\)
のグラフは図のとおり。
したがって，方程式[a]の実数解が1個となるような\(~k~\)の値は\(~k=-\dfrac{25}{4}. \cdots \text{（答）} \)
このとき，\( t=\dfrac52\)より\begin{align*} \log_2x=&\dfrac52 \\ x= & 2^{\frac52} \\ =&4\sqrt2 \cdots \text{（答）}\end{align*}
(3) \(x\)についての方程式[a]の異なる実数解が4個となる条件は，\(t~\)についての方程式\([1]\)の異なる実数解が4個となることであり，すなわち\(~y=f(t)~\)のグラフと\(~y=k~\)のグラフが共有点を4個もつことである。
グラフより，求める\(~k~\)の値の範囲は\(-\dfrac14 < k < 0. \cdots \text{（答）} \)
ここで，方程式[a]の異なる4実数解\(\alpha ,~\beta,~ \gamma,~ \delta\)を\(\alpha < \beta < \gamma < \delta \)としても一般性を失わない。このとき，\(t~\)についての方程式\([1]\)の異なる4つの実数解は，\begin{align*}\log_2\alpha,~\log_2\beta,~\log_2\gamma,~\log_2\delta~(\log_2\alpha < \log_2\beta < \log_2\gamma < \log_2\delta )\end{align*}
である。グラフより，\(\log_2\alpha, ~\log_2\beta~\)は\(~t^2+t-k=0~\)の解であり，\(\log_2\gamma, ~\log_2\delta~\)は\(~t^2-5t-k=0~\)の解である。解と係数の関係より\begin{align*} \begin{cases} \log_2\alpha +\log_2\beta &=-1 \\ \log_2\gamma +\log_2\delta &=5 \end{cases} \end{align*}よって \begin{align*} \left( \log_2\alpha +\log_2\beta \right) + \left( \log_2\gamma +\log_2\delta \right) = & (-1)+5 \\ \log_2{\alpha \beta \gamma \delta} = & 4 \\ \alpha \beta \gamma \delta = & 2^4 =16 \cdots \text{（答）} \end{align*}
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