令和05年度(2023)久留米大学医学部推薦入試数学過去問の解説授業（１／４）

真数条件より  \(~x>0.\) 
方程式\([a]\)より
\begin{align*}(\log_2x)^2-3|\log_2x|-\log_2x=\log_2x +k \\ (\log_2x)^2-3|\log_2x|-2\log_2x=k \end{align*}
\(\log_2x=t~\)とおくと \[ t^2-3|t|-2t=k  \quad \cdots [1] \]

\(\log_2x=t~\)より\(~x~\)と\(~t~\)は1対1に対応する。
したがって，\(x~\)についての方程式\([a]~\)の解の個数と\(~t~\)についての方程式\([1]~\)の解の個数は一致する。

 \(k=6~\)とする。         
(i) \(t \geqq 0~\)のとき，\([1]\)より
\begin{align*}  t^2-5t-6= & 0 \\ 
(t+1)(t-6)= & 0 \\
t= & 6 \quad (\because t \geqq 0) \\ 
\log_{2}x= & 6 \\ 
x= & 2^6=64 \end{align*}
 (ii) \(t < 0\)のとき，\([1]\)より
\begin{align*}
 t^2+t-6= & 0 \\
 (t+3)(t-2)= & 0 \\
t= & -3 \quad (\because t < 0) \\
  \log_{2}x= & -3 \\
    x= & 2^{-3}=\dfrac{1}{8}
 \end{align*}

 以上より，\(x=\dfrac18,~64 \quad \cdots \text{（答）}\)

 \(f(t)=t^2-3|t|-2t~\)とおく。
 \(x~\)についての方程式\([a]~\)の実数解が1個となるための条件は，\(t~\)についての方程式\([1]~\)の実数解が1個となることであり，すなわち\(~y=f(t)~\)のグラフと\(~y=k~\)のグラフが共有点を1個だけもつことである。
             \(y=f(t)=\begin{cases} t^2-5t & (t \geqq 0) \\ t^2+t & (t < 0)\end{cases}\)
のグラフは図のとおり。

       
  したがって，方程式\([a]~\)の実数解が1個となるような\(~k~\)の値は
\[~k=-\dfrac{25}{4}. \quad \cdots \text{（答）}\] 
  このとき，\( t=\dfrac52\)より
   \begin{align*}
                \log _2 x = \dfrac52 \\
                x= 2^{\frac52} =4\sqrt2 \quad \cdots \text{（答）}
      \end{align*}

   \(x~\)についての方程式\([a]~\)の異なる実数解が4個となる条件は，\(t~\)についての方程式\([1]~\)の異なる実数解が4個となることであり，すなわち\(~y=f(t)~\)のグラフと\(~y=k~\)のグラフが共有点を4個もつことである。
  グラフより，求める\(~k~\)の値の範囲は
\[-\dfrac14 < k < 0. \quad \cdots \text{（答）}\] 
  ここで，方程式\([a]~\)の異なる4実数解\(~\alpha , ~ \beta , ~ \gamma , ~ \delta~\)を\(~\alpha < \beta < \gamma < \delta ~\)としても一般性を失わない。このとき，\(t~\)についての方程式\([1]~\)の異なる4つの実数解は，
 \[ \log_2\alpha ,~\log_2\beta , ~\log_2\gamma , ~ \log_2\delta~\quad (\log_2\alpha < \log_2\beta < \log_2\gamma < \log_2\delta ) \]
である。グラフより，\(\log_2\alpha, ~\log_2\beta~\)は\(~t^2+t-k = 0~\)の解であり，\(\log_2\gamma, ~\log_2\delta~\)は\(~t^2-5t-k=0~\)の解である。解と係数の関係より
 \begin{align*}
  \begin{cases}
 \log_2\alpha +\log_2\beta &=-1 \\
   \log_2\gamma +\log_2\delta &=5 
 \end{cases}
 \end{align*}
    よって
   \begin{align*}
   \left( \log_2\alpha +\log_2\beta \right) + \left( \log_2\gamma +\log_2\delta \right) = & (-1)+5 \\ 
    \log_2{\alpha \beta \gamma \delta} = & 4 \\
   \alpha \beta \gamma \delta = & 2^4 =16 \quad \cdots \text{（答）}
    \end{align*}