この記事には，久留米大学医学部推薦入試過去問の詳しい解説が載っています。
過去問を通して久留米大学医学部の数学について学べるように，授業のような解説にしています。これまで勉強してきたことを整理し、あなたの数学力をレベルアップしましょう！
解答はすでにこちらの記事で示しております。
令和05年度(2023)久留米大学医学部推薦入試数学［２］
すべてのカードを区別し，分母と分子の数え方を統一しよう
よって，取り出された3枚のカードがすべて正の値である確率は
\begin{align*}
\frac{_{6}\textrm{C}_{3}}{_{12}\textrm{C}_{3}}=\frac{20}{220}=\frac{1}{11} \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
取り出された3枚のカードのうち，少なくとも1つが負の値である確率は
\begin{align*}
1-\frac{1}{11}=\frac{10}{11} \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
(2) \(S=-9~\)となるのは3枚とも\(~-3~\)のカードを取り出したときであり，\(S=9~\)となるのは3枚とも\(~3~\)のカードを取り出したときである。
よって，\(S=-9~\)または\(~S=9~\)となる確率は
\begin{align*}
\frac{_{3}\textrm{C}_{3} +_{3}\textrm{C}_{3}}{_{12}\textrm{C}_{3}}=\frac{2}{220}=\frac{1}{110} \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
対称性を利用することで，解く時間を短縮しよう
まずは，\(S=0~\)となる確率を求めます。そのためには，\(S=0~\)となるのは，取り出した3枚のカードがどんな組み合わせとなるのか，分類する必要があります。
\begin{align*}
\left\{ 1,~2,~-3\right\} または \left\{ -1,~-2,~3\right\}
\end{align*}
のときである。
それぞれ\(~1 \times 2 \times 3 =6~\)通りであるから，\(S=0~\)となる確率は
\begin{align*}
\frac{6 \times 2}{_{12}\textrm{C}_{3}}=\frac{12}{220}=\frac{3}{55} \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
\(\left\{ 1,~2,~-3\right\} \)の組の場合，\(1~\)のカードは1枚，\(2~\)のカードは2枚，\(-3~\)のカードは3枚あるので，取り出し方は\(~1 \times 2 \times 3 =6~\)通りあります。同様に，\(\left\{ -1,~-2,~3\right\} ~\)の組も6通りです。
ですから，\(S=0~\)となる組合せは\(~6 \times 2~\)通りとなります。
ここで，「カードを並べ替えることを考えて，\(3!~\)をかけなければならないのではないかな？」と思った人はいませんか？
よくある勘違いですが，その必要はありません。
なぜなら，起こりうるすべての事象の数，つまり分母の数を，_{12}\textrm{C}_{3}で計算していたはずです。これはカードの組合せであり，カードを取り出す順序のことは考えていません。
分子を数えるときは，分母のうち何通りかを数えるのですから，当然カードの順序を考える必要はありません。
言われてみれば当たり前なのですが，分母と分子の数え方を統一していない人は意外と多いです。気をつけましょう。
よって\(S > 0~ \)となる確率は
\begin{align*}
\left( 1-\frac{3}{55}\right) \times \frac12 =\frac{26}{55} \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
ここは，差がつくところかもしれません。
3枚のカードに書かれた数字の和\(~S~\)は，\(S=0,~S > 0,~S < 0~\)のいずれかであり，\(S>0\)となる確率と\(S<0\)となる確率は同じになります。
なぜなら，1と\(~-1~\)のカードはどちらも1枚，2と\(~-2~\)のカードはどちらも2枚，3と\(~-3~\)のカードはどちらも3枚となっています。
プラスとマイナスを入れ替えて考えてみれば，\(S>0~\)となる確率と\(~S<0~\)となる確率が同じになることがわかります。
この，カードの対称性に気付けば，\(S \ne 0~\)の確率に\(\frac12\)をかけることで，\(S > 0~\)となる確率を計算することができます。
直接計算することに比べれば，かなり楽になることがわかると思います。対称性が利用できないかどうか，常に頭に入れておきましょう。
条件付き確率だけど，難しくはない
「条件付き確率は苦手です」という生徒は多いですが，この問題については難しくありません。
「箱の中ら同時に3枚のカードを取り出したら\(~S=0~\)」となったとき，残り9枚のカードから2枚を取り出します。時系列に沿っているので公式を使う必要もなく，単純に残っているカードのことだけ考えればOKです。
意識しすぎないように，落ち着いて解きましょう。
(4) \(S=0~\)であったとする。
はじめに取り出された3枚のカードの組が\(\{1,~2,~-3\}\)のとき，残った9枚のカードは
\[
-1,~2,-2,-2,~3,~3,~3,-3,-3
\]
であり，はじめに取り出された3枚のカードの組が\(\{-1,~-2,~3\}\)のとき，残った9枚のカードは
\[
1,~2,~2,-2,~3,~3,-3,-3,-3
\]
である。どちらにしても，残った9枚のカードから2枚取り出して数字の和が0となるのは，「2と\(-2\)」または「3と\(-3\)」を取り出すときであり，その場合の数は\(~1 \times 2 + 2 \times 3 =8~\)通りである。
したがって，求める条件付き確率は
\begin{align*}
\dfrac{8}{_{9}\textrm{C}_{2}}=\frac29 \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
ちなみに，公式通りに解こうとすると，だいたい次のようになります。複雑になるだけなので，あまりオススメはしません。
箱から3枚のカードを取り出したとき，\(S=0~\)である事象を\(~A~\)とする。また，箱から3枚のカードを取り出したあと，残った9枚のカードから2枚を取り出し，最後の2枚のカードの数字の和が\(~0~\)である事象を\(~B~\)とする。
求める条件付き確率は
\[
P_A(B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}
\]
である。
はじめに取り出された3枚のカードの組が\(\{1,~2,~-3\}\)のとき，残った9枚のカードは
\[
-1,~2,-2,-2,~3,~3,~3,-3,-3
\]
であり，はじめに取り出された3枚のカードの組が\(\{-1,~-2,~3\}\)のとき，残った9枚のカードは
\[
1,~2,~2,-2,~3,~3,-3,-3,-3
\]
である。どちらにしても，残った9枚のカードから2枚取り出して数字の和が0となるのは，「2と\(-2\)」または「3と\(-3\)」を取り出すときであり，その場合の数は\(~1 \times 2 + 2 \times 3 =8~\)通りである。
したがって，求める条件付き確率は
\begin{align*}
\dfrac{\frac{3}{55} \times \frac{8}{_{9}\textrm{C}_{2}}}{\frac{3}{55}}= & \frac{8}{_{9}\textrm{C}_{2}} \\
= & \dfrac29 \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
この問題のポイント
振り返ってみましょう。
この問題が解けるかどうかのポイントは、
- 適切に場合分けして数えることができるか
- 対称性を利用できるか
- 条件付き確率を理解しているか
といったところです。
完答したい問題です。苦手な人はしっかり復習しましょう。
※誤植やミスを見つけた方は，ぜひお知らせください。
丁寧な場合分けが必要になるので，いい訓練になります。
対称性を利用することの良さも実感できて，一石二鳥です。
場合の数や確率に強くなるためには，いろいろな解法を試してみましょう。