令和06年度(2024)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答（２／５）

\(k\)回目のサイコロの目を\(a_k\)とする。

1. サイコロを2回振ったときのすべての目の出方は\(6^2\)通りであり，そのうち2回目の試行で終わるのは
   \[
   (a_1,~a_2)=(4,~6),~(5,~5),~(6,~4)
   \]
   の3通りである。よって，2回目の試行で終わる確率は
   \[
   \frac{3}{6^2}=\frac{1}{12} \quad \text{（答）}
   \]
2. サイコロを3回振ったときのすべての目の出方は\(6^3\)通りであり，そのうち3回目の試行で終わるのは，次の2パターンがある。
   [1] \(a_1+a_2+a_3=10\)のとき
   和が10となるサイコロの目の組み合わせは
   \[
   \{1,~3,~6\},~\{1,~4,~5\},~\{2,~2,~6\},~\{2,~3,~5\},~\{2,~4,~4\},~\{3,~3,~4\}
   \]
   目の出る順序を考慮して
   \[
   3!+3!+3+3!+3+3=27\ \text{（通り）}
   \]
   [2] \(a_1+a_2 >10\)のとき
   \[
   (a_1,~a_2,~a_3)=(5,~6,~1),~(6,~5,~1),~(6,~6,~2)
   \]
   の3通り。
   よって[1][2]より，3回目の試行で終わる確率は
   \[
   \frac{27+3}{6^3}=\frac{5}{36} \quad \text{（答）}
   \]
3. (2)より，3回目の試行で終わったときに，後戻りをしていない条件付き確率は
   \[
   \frac{27}{27+3}=\frac{9}{10} \quad \text{（答）}
   \]
4. 2回目に\(\boxed{5}\)のマスに止まると，3回目で試行が終わることはない。したがって，3回目の試行で終わるのは，次の3パターンがある。 (i) \(a_1 \ne 5~\)かつ\(~a_1+a_2 \ne 5~\)かつ\(~a_1+a_2+a_3=10~\)のとき<br>
   和が10となるサイコロの目の組み合わせ
   \[
   \{1,~3,~6\},~\{1,~4,~5\},~\{2,~2,~6\},~\{2,~3,~5\},~\{2,~4,~4\},~\{3,~3,~4\}
   \]
   のうち目の出る順序を考慮して条件を満たすものは
   \[
   3!+2+3+2+3+3=19\ \text{（通り）}
   \]
   (ii) \(a_1 \ne 5~\)かつ\(~a_1+a_2>10~\)のとき
   \[
   (a_1,~a_2,~a_3)=(6,~5,~1),~(6,~6,~2)
   \]
   の2通り。
   (iii) \(a_1=5~ \text{かつ} ~a_2 \ne 5 ~\text{かつ} ~a_2+a_3=10~ \)のとき
   \[
   (a_1,~a_2,~a_3)=(5,~4,~6),~(5,~6,~4)
   \]
   の2通り。
   したがって(i)〜(iii)より，求める確率は
   \[
   \frac{19+2+2}{6^3}=\frac{23}{216} \quad \text{（答）}
   \]
5. 4回の試行で途中2回後戻りして試行が終わるとき，2回目と3回目で後戻りすることになる。それは次の2パターンである。
   (#1) \((a_1,~a_2)=(5,~6),~(6,~5)\)のとき
   \[
   (a_3,~a_4)=(2,~1),~(3,~2),~(4,~3),~(5,~4),~(6,~5)
   \]
   であるから，\(5 \times 2 =10\)通り。
   (#2) \((a_1,~a_2)=(6,~6)\)のとき
   \[
   (a_3,~a_4)=(3,~1),~(4,~2),~(5,~3),~(6,~4)
   \]
   の\(4\)通り。
   したがって(#1)(#2)より，求める確率は