令和06年度(2024)久留米大学医学部推薦入試数学過去問の解説授業（２／５）

この記事には，久留米大学医学部推薦入試過去問の詳しい解説が載っています。

過去問を通して久留米大学医学部の数学について学べるように，授業のような解説にしています。これまで勉強してきたことを整理し、あなたの数学力をレベルアップしましょう！

解答はすでにこちらの記事で示しております。

令和06年度(2024)久留米大学医学部推薦入試数学［２］

令和06年度(2024)久留米大学医学部推薦入試数学［２］

小さい頃に遊んでいる人が有利？ゲームと確率

確率の問題でまず大切なことは，設定を読み取ることです。どんな状況でどのような試行を行うのか，を理解しなければ計算できるはずがありません。

今回の問題はあるルールに従ってコマを進めるゲームを行います。サイコロを振って出た目の数だけマス目を進み，ちょうどゴールに着いたら終了です。ちょうどではなく，大きすぎた場合はその超えた分だけマス目を戻り，次回はまたサイコロを振ってゴールに向かいます。

まあわかってみれば何てことはない，双六ですね。小さい頃に遊んだことがない人はいないだろうと思います。

確率の問題では，このようなゲームを扱う問題が多いので，小さい頃に遊んでいた経験が多い人ほど有利かも？（笑）

場合分けを丁寧にしよう。文字や記号を使うと書きやすい

まずは(1)の解答を見てみましょう。

$k$ 回目のサイコロの目を $a_{k}$ とする。
サイコロを2回振ったときのすべての目の出方は $6^{2}$ 通りであり，そのうち2回目の試行で終わるのは
$(a_{1}, a_{2}) = (4, 6), (5, 5), (6, 4)$ の3通りである。よって，2回目の試行で終わる確率は $\frac{3}{6^{2}} = \frac{1}{12} \dots （答）$

2回目の試行で終わるときは，コマが戻ることを考える必要はありません。ただ2回のサイコロの目の合計が10になるときを調べればOKです。

なお，今後の記述をしやすくするために，「 $k$ 回目のサイコロの目を $a_{k}$ とする」としています。

場合の数や確率は，答えを求めることはできても，どのように考えたのかを記述するのが面倒な場合があります。

記述式の試験を受ける場合には，このようにうまく文字や記号を使うことで，記述をシンプルにすることができます。覚えておきましょう。

まあ，久留米大学は穴埋め式なので，関係ないですけどね(笑)。

次は(2)の解答です。ゴールから戻ることもあるので場合分けしなければなりません。

サイコロを3回振ったときのすべての目の出方は $6^{3}$ 通りであり，そのうち3回目の試行で終わるのは，次の2パターンがある。
1. $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 10$ のとき
  和が10となるサイコロの目の組み合わせは次のとおりです ${1, 3, 6}, {1, 4, 5}, {2, 2, 6}, {2, 3, 5}, {2, 4, 4}, {3, 3, 4}$ 目の出る順序を考慮して計算すると $3! + 3! + 3 + 3! + 3 + 3 = 27 （通り）$
2. $a_{1} + a_{2} > 10$ のとき
  $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ は次のとおりです $(5, 6, 1), (6, 5, 1), (6, 6, 2)$ の3通り。
よって (i) と (ii) より，3回目の試行で終わる確率は $\frac{27 + 3}{6^{3}} = \frac{5}{36} （答）$

3回目で施行が終わるケースは，ゴールから戻ることがない場合と戻ることがある場合があります。

それをここでは「 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 10$ のとき」と「 $a_{1} + a_{2} > 10$ 」のとき，で場合分けしました。

「 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 10$ のとき」は，まず合計が10になる数字の組み合わせを調べています。そのあと，その数字の組み合わせならどの順序で出てもいいのですから，順序を考えて計算しています。

例えば，\{1,~3,~6\}の組み合わせなら異なる3つの数の順序を考えて $3!$ 通り，\{2,~2,~6\}の組み合わせなら同じものを含む順列なので $\frac{3!}{2!} = 3$ 通り，としています。

この，順序を考えることを忘れる人がいますので，注意しましょう。

条件付き確率は「条件」で割る

(2)より，3回目の試行で終わったときに，後戻りをしていない条件付き確率は $\frac{27}{27 + 3} = \frac{9}{10} \dots （答）$

公式を確認しておきましょう。

事象 $A$ が起きたという条件のもとで事象 $B$ が起こる確率 $P_{A} (B)$ は
$P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} (= \frac{n (A \cap B)}{n (A)})$
です。

記号で見ると拒否反応がある人もいるでしょうが，次のようなイメージ図があればどうでしょうか。

通常の「事象 $B$ が起こる確率（図1）」ならば，全事象 $U$ の中で事象 $B$ はどのくらいか，を考えることになります。

これが「事象 $A$ が起きたという条件のもとで事象 $B$ が起こる確率（図2）」だと，全事象 $U$ ではなく，事象 $A$ の中で事象 $B$ がどのくらいか，を考えることになります。

だから分母に事象 $A$ の確率がくるのです。分子は $B$ なのですが，事象 $A$ の中で考えるのですから， $A$ の中の $B$ ,つまり事象 $A \cap B$ となります。

公式がなかなか頭に入ってこなかった人は，上記のようなイメージをもつことで記憶できるでしょう。

問題の設定を正確に読み取り，必要ならば場合分けしよう

(4)では，双六でよくある「スタートに戻る」が加わります。5のマスに止まったらスタートに戻る，というルールが加わるのです。

ちょっと難しいなあ・・・と感じる人もいると思いますが，よく考えると実は大したことありません。

というのも，3回で終了する(ゴールする)確率を求めるので，スタートに戻るとしたら1回目のみということがわかるからです。

解答を見てみましょう。

2回目に $5$ のマスに止まると，3回目で試行が終わることはない。したがって，3回目の試行で終わるのは，次の3パターンがある。
1. $a_{1} \neq 5$ かつ $a_{1} + a_{2} \neq 5$ かつ $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 10$ のとき
  和が10となるサイコロの目の組み合わせは以下のとおりです ${1, 3, 6}, {1, 4, 5}, {2, 2, 6}, {2, 3, 5}, {2, 4, 4}, {3, 3, 4}$ このうち、目の出る順序を考慮して条件を満たすものは $3! + 2 + 3 + 2 + 3 + 3 = 19 （通り）$
2. > $a_{1} \neq 5$ かつ $a_{1} + a_{2} > 10$ のとき
  次の2通りです $(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (6, 5, 1), (6, 6, 2)$
3. $a_{1} = 5$ かつ $a_{2} \neq 5$ かつ $a_{2} + a_{3} = 10$ のとき
  次の2通りです $(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (5, 4, 6), (5, 6, 4)$
したがって (i)〜(iii) より，求める確率は $\frac{19 + 2 + 2}{6^{3}} = \frac{23}{216} （答）$

まず，1回目のサイコロで5の目が出る場合と出ない場合に分けられます。

そのあと，5の目がでる場合については残り2回でゴールするので戻ることは考える必要がありません。2回目のサイコロで5の目が出てしまうといけないので，そこだけ注意すれば(2)が使えます。

1回目のサイコロで5の目が出ない場合については，これをさらに「2回目にゴールを超えて戻ってしまう場合」と「戻らない場合」に分ける必要があります。

ですから，合わせて3つの場合に分けて考えることになります。

上記の解答の場合分けをしっかり理解しましょう。

あとは順序を忘れずに計算すれば大丈夫だと思います。最後までしっかり答えを出しましょう。

最後の(5)は，4回の試行で2回戻ったあと終了するケースがどういう場合かを考えます。戻るのが，2回目と3回目であることに気づけば，あとは計算するだけです。

4回の試行で途中2回後戻りして試行が終わるとき，2回目と3回目で後戻りすることになる。それは次の2パターンである。
1. $(a_{1}, a_{2}) = (5, 6), (6, 5)$ のとき $(a_{3}, a_{4}) = (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5)$ であるから， $5 \times 2 = 10$ 通り。
2. $(a_{1}, a_{2}) = (6, 6)$ のとき $(a_{3}, a_{4}) = (3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 4)$ の $4$ 通り。
したがって(i)(ii)より，求める確率は $\frac{10 + 4}{6^{4}} = \frac{7}{648} \dots （答）$

いかがでしたか？

双六という身近なゲームにおける確率なので，易しい問題のような気もしますが，設定が変わるところもあって，受験生は意外に手こずるような気もします。

どんな問題であっても，しっかりと設定を理解し，きちんと場合分けして解きましょう。

この問題のポイント

振り返ってみましょう。

この問題が解けるかどうかのポイントは、

問題文から正確に設定を読み取ることができるか
設定に応じて場合分けすることできるか
条件付き確率を理解しているか

確率が苦手な人はしっかり復習しましょう。

※誤植やミスを見つけた方は，ぜひお知らせください。