令和06年度(2024)久留米大学医学部推薦入試数学過去問の解説授業（２／５）

この記事には，久留米大学医学部推薦入試過去問の詳しい解説が載っています。

過去問を通して久留米大学医学部の数学について学べるように，授業のような解説にしています。これまで勉強してきたことを整理し、あなたの数学力をレベルアップしましょう！

解答はすでにこちらの記事で示しております。

令和06年度(2024)久留米大学医学部推薦入試数学［２］

小さい頃に遊んでいる人が有利？ゲームと確率

確率の問題でまず大切なことは，設定を読み取ることです。どんな状況でどのような試行を行うのか，を理解しなければ計算できるはずがありません。

今回の問題はあるルールに従ってコマを進めるゲームを行います。サイコロを振って出た目の数だけマス目を進み，ちょうどゴールに着いたら終了です。ちょうどではなく，大きすぎた場合はその超えた分だけマス目を戻り，次回はまたサイコロを振ってゴールに向かいます。

まあわかってみれば何てことはない，双六ですね。小さい頃に遊んだことがない人はいないだろうと思います。

確率の問題では，このようなゲームを扱う問題が多いので，小さい頃に遊んでいた経験が多い人ほど有利かも？（笑）

場合分けを丁寧にしよう。文字や記号を使うと書きやすい

まずは(1)の解答を見てみましょう。

2回目の試行で終わるときは，コマが戻ることを考える必要はありません。ただ2回のサイコロの目の合計が10になるときを調べればOKです。

なお，今後の記述をしやすくするために，「\(k\)回目のサイコロの目を\(a_k\)とする」としています。

場合の数や確率は，答えを求めることはできても，どのように考えたのかを記述するのが面倒な場合があります。

記述式の試験を受ける場合には，このようにうまく文字や記号を使うことで，記述をシンプルにすることができます。覚えておきましょう。

まあ，久留米大学は穴埋め式なので，関係ないですけどね(笑)。

次は(2)の解答です。ゴールから戻ることもあるので場合分けしなければなりません。

3回目で施行が終わるケースは，ゴールから戻ることがない場合と戻ることがある場合があります。

それをここでは「\(a_1+a_2+a_3=10\)のとき」と「\(a_1+a_2 >10\)」のとき，で場合分けしました。

「\(a_1+a_2+a_3=10\)のとき」は，まず合計が10になる数字の組み合わせを調べています。そのあと，その数字の組み合わせならどの順序で出てもいいのですから，順序を考えて計算しています。

例えば，\{1,~3,~6\}の組み合わせなら異なる3つの数の順序を考えて\(3!\)通り，\{2,~2,~6\}の組み合わせなら同じものを含む順列なので\(\frac{3!}{2!}=3\)通り，としています。

この，順序を考えることを忘れる人がいますので，注意しましょう。

条件付き確率は「条件」で割る

公式を確認しておきましょう。

事象\(A\)が起きたという条件のもとで事象\(B\)が起こる確率\(P_A(B)\)は
\[
P_A(B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)} \left( = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}\right)
\]
です。

記号で見ると拒否反応がある人もいるでしょうが，次のようなイメージ図があればどうでしょうか。

通常の「事象\(B\)が起こる確率（図1）」ならば，全事象\(U\)の中で事象\(B\)はどのくらいか，を考えることになります。

これが「事象\(A\)が起きたという条件のもとで事象\(B\)が起こる確率（図2）」だと，全事象\(U\)ではなく，事象\(A\)の中で事象\(B\)がどのくらいか，を考えることになります。

だから分母に事象\(A\)の確率がくるのです。分子は\(B\)なのですが，事象\(A\)の中で考えるのですから，\(A\)の中の\(B\),つまり事象\(A \cap B\)となります。

公式がなかなか頭に入ってこなかった人は，上記のようなイメージをもつことで記憶できるでしょう。

問題の設定を正確に読み取り，必要ならば場合分けしよう

(4)では，双六でよくある「スタートに戻る」が加わります。5のマスに止まったらスタートに戻る，というルールが加わるのです。

ちょっと難しいなあ・・・と感じる人もいると思いますが，よく考えると実は大したことありません。

というのも，3回で終了する(ゴールする)確率を求めるので，スタートに戻るとしたら1回目のみということがわかるからです。

解答を見てみましょう。

まず，1回目のサイコロで5の目が出る場合と出ない場合に分けられます。

そのあと，5の目がでる場合については残り2回でゴールするので戻ることは考える必要がありません。2回目のサイコロで5の目が出てしまうといけないので，そこだけ注意すれば(2)が使えます。

1回目のサイコロで5の目が出ない場合については，これをさらに「2回目にゴールを超えて戻ってしまう場合」と「戻らない場合」に分ける必要があります。

ですから，合わせて3つの場合に分けて考えることになります。

上記の解答の場合分けをしっかり理解しましょう。

あとは順序を忘れずに計算すれば大丈夫だと思います。最後までしっかり答えを出しましょう。

最後の(5)は，4回の試行で2回戻ったあと終了するケースがどういう場合かを考えます。戻るのが，2回目と3回目であることに気づけば，あとは計算するだけです。

5. 4回の試行で途中2回後戻りして試行が終わるとき，2回目と3回目で後戻りすることになる。それは次の2パターンである。

   1. \((a_1,~a_2)=(5,~6),~(6,~5)\)のとき \[ (a_3,~a_4)=(2,~1),~(3,~2),~(4,~3),~(5,~4),~(6,~5) \] であるから，\(5 \times 2 =10\)通り。
   2. \((a_1,~a_2)=(6,~6)\)のとき \[ (a_3,~a_4)=(3,~1),~(4,~2),~(5,~3),~(6,~4) \] の\(4\)通り。

   したがって(i)(ii)より，求める確率は \[ \frac{10+4}{6^4}=\frac{7}{648} \cdots \textrm{（答）} \]

いかがでしたか？

双六という身近なゲームにおける確率なので，易しい問題のような気もしますが，設定が変わるところもあって，受験生は意外に手こずるような気もします。

どんな問題であっても，しっかりと設定を理解し，きちんと場合分けして解きましょう。

この問題のポイント

振り返ってみましょう。

この問題が解けるかどうかのポイントは、

確率が苦手な人はしっかり復習しましょう。

※誤植やミスを見つけた方は，ぜひお知らせください。