令和06年度(2024)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答(4/5)

過去問で学ぶ推薦入試数学

過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 令和06年度入試では全部で5問出題されました。 そのうちの4番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

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令和06年度(2024)推薦入試[4]

問題

    1. 3次方程式\(~2x^3+3x^2-1=0~\)の解は\(~x=\boxed{~16~}\)である。
    2. \(k~\)を実数の定数とする。3次方程式\(~x^3+3x^2+3kx+1=0~\)と2次方程式\(~x^2+2x+k=0~\)が共通解をもつときの\(k\)の値と,そのときの共通解は
      \(\qquad \)\(k=\boxed{~17~}\)のとき,共通解は\(~x=\boxed{~18~}\)である。
      \(\qquad \)\(k=\boxed{~19~}\)のとき,共通解は\(~x=\boxed{~20~}\)である。
      ただし,\(\boxed{~18~} < \boxed{~20~}\)とする。
    3. \(k~\)を実数の定数とし,\(i~\)を虚数単位とする。
      方程式\(~x^3+(3+i)x^2+(3k+2i)x+1+ki=0~\)が負の実数解と虚数解をもつときの\(~k~\)の値と,そのときの負の実数解と虚数解は,
      \[
      k=\boxed{~21~},~\quad x=\boxed{~22~} である。
      \]

久留米推薦(令和06年度入試)

解答

  1.  \(2x^3+3x^2-1=0~\)より
    \begin{align*}
    (x+1)(2x^2+x-1)=& 0 \\
    (x+1)^2(2x-1)=& 0 \\
    ∴ x=-1,~\frac12 \quad \cdots \textrm{(答)}
    \end{align*}
  2. 2つの方程式の共通解を\(~\alpha~\)とおくと
    \begin{align*}
    \begin{cases}
    \alpha^3+3\alpha^2+3k\alpha+1=0 \cdots [1]\\
    \alpha^2+2\alpha +k=0 \cdots [2]
    \end{cases}
    \end{align*}
    \([2] \times 3\alpha – [1]\)より
    \[
    2\alpha^3+3\alpha^2-1=0
    \]
    (1)より \(~\alpha=-1, \frac{1}{2}.\) 
    \(\alpha=-1~\)のとき,\([2]\)より \(~k=1.\)
    \(\alpha=\frac12~\)のとき,\([2]\)より \(~k=-\frac{5}{4}.\)
    よって 
    \(\qquad\)\(k=1~\)のとき 共通解は\(~x=-1. \quad \cdots \textrm{(答)} \)
    \(\qquad\)\(k=-\frac{5}{4}\)のとき 共通解は\(x=\frac12 \quad \cdots \textrm{(答)}\)
  3. 与えられた方程式の負の実数解を\(\beta\)とおくと
    \[
    \beta^3+(3+i)\beta^2+(3k+2i)\beta +1+ki=0
    \]
    虚数単位\(i\)について整理して
    \[
    (\beta^3+3\beta^2+3k\beta+1)+(\beta^2+2\beta+k)i=0
    \]
    \(\beta^3+3\beta^2+3k\beta+1\)と\(\beta^2+2\beta+k\)はともに実数であるから
    \begin{align*}
    \begin{cases}
    \beta^3+3\beta^2+3k\beta+1=0 \\
    \beta^2+2\beta+k=0
    \end{cases}
    \end{align*}
    (2)より
    \[
    (k,~\beta)=(1,~-1),~(-\frac{5}{4},~\frac12)
    \]
    \(\beta\)は負の実数なので \(k=1 \quad \cdots \textrm{(答)}\) 
    このとき方程式は
    \begin{align*}
    x^3+(3+i)x^2+(3+2i)x+1+i=0 \\
    ∴ (x+1)^2(x+1+i)=0
    \end{align*}
    よって方程式の解は
    \[
    x=-1,~-1-i \quad \cdots \textrm{(答)}
    \]

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