令和06年度(2024)久留米大学医学部推薦入試数学過去問の解説授業（４／５）

(1) \(2x^3+3x^2-1=0\)より
\begin{align*}
(x+1)(2x^2+x-1)=& 0 \\
(x+1)^2(2x-1)=& 0 \\
∴ x=-1,~\frac12 \quad \cdots \textrm{（答）}   
\end{align*}

  (2)~ 2つの方程式の共通解を\(\alpha\)とおくと \begin{align*} \begin{cases} \alpha^3+3\alpha^2+3k\alpha+1=0 \cdots [1]\\ \alpha^2+2\alpha +k=0 \cdots [2] \end{cases} \end{align*} \([2]\times 3\alpha – [1]\)より \[ 2\alpha^3+3\alpha^2-1=0 \] (1)より  \(~\alpha=-1, \frac{1}{2}.\)
  \(\alpha=-1~\)のとき，\([2]\)より  \(~k=1.\)
\(\alpha=\frac12~\)のとき，\([2]\)より  \(~k=-\frac{5}{4}.\)
よって
\(\qquad\)\(k=1~\)のとき  共通解は\(~x=-1. \quad \cdots \textrm{（答）}    \)
\(\qquad\)\(k=-\frac{5}{4}~\)のとき  共通解は\(~x=\frac12 \quad \cdots \textrm{（答）}   \)

(3) 与えられた方程式の負の実数解を\(\beta\)とおくと \[ \beta^3+(3+i)\beta^2+(3k+2i)\beta +1+ki=0 \]   虚数単位\(~i~\)について整理して \[ (\beta^3+3\beta^2+3k\beta+1)+(\beta^2+2\beta+k)i=0 \]   \(\beta^3+3\beta^2+3k\beta+1~\)と\(~\beta^2+2\beta+k~\)はともに実数であるから \begin{align*} \begin{cases} \beta^3+3\beta^2+3k\beta+1=0 \\   \beta^2+2\beta+k=0 \end{cases} \end{align*}  (2)より    \[  (k,~\beta)=(1,~-1),~(-\frac{5}{4},~\frac12)  \]  \(\beta~\)は負の実数なので  \(~k=1 \quad \cdots \textrm{（答）}   \) \\ このとき方程式は  \begin{align*} x^3+(3+i)x^2+(3+2i)x+1+i=0 \\  ∴ (x+1)^2(x+1+i)=0 \end{align*} よって方程式の解は \[   x=-1,~-1-i \quad \cdots \textrm{（答）}    \]