この記事には，久留米大学医学部推薦入試過去問の詳しい解説が載っています。
過去問を通して久留米大学医学部の数学について学べるように，授業のような解説にしています。これまで勉強してきたことを整理し、あなたの数学力をレベルアップしましょう！
解答はすでにこちらの記事で示しております。
令和06年度(2024)久留米大学医学部推薦入試数学［５］
［５］意外と奥が深い！シグマの計算
5番の問題は，シグマの計算についての問題です。
「シグマの計算なんて簡単だよ。一通り解き方知ってるし」
そういう受験生は多いと思いますが，本当にそうでしょうか。
今回の問題には，少し高度な解法が含まれています。この解法を知らなかった受験生にとっては，少し難しく感じたかもしれません。
ぜひこのレベルまでマスターしておきましょう。
分母が積の形なら，部分分数分解を疑え
(1)は典型的な部分分数分解の問題です。ここは有名な解法なので，解けた人は多かっただろうと推測します。
先生と久米さんの会話文がありますが，ほとんど読む必要はありません。
(1) \begin{align*}
\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac12 \left( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)
\end{align*}
であるから，\(a=2. \quad \cdots \textrm{（答）}\)
したがって
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=& \frac12 \sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right) \\
=& \frac12 \left( 1-\frac{1}{2n+1}\right) \\
=& \frac{n}{2n+1} \quad \cdots \textrm{（答）}
\end{align*}
\(\frac{1}{ab}\)の形の分数を，\(m \left( \frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\)の形に変形することを，部分分数分解と呼んでいます。1つの分数が2つの分数の差の形に分けられます。
（2つの分数を1つにまとめるときに通分しますが，その逆ですね。）
部分分数分解したあとは，\(k=1,~2,~3,~\cdots ,~n~\)を代入して和を取ると，うまく消えてくれてスッキリ計算できます。
実はこの部分分数分解，もう少し深い背景を知ると，幅広い問題に対応できるようになります。それが次の問題です。
差の形を作ることこそが解法の本質
(2)の問題は先生と久米さんの会話文が長く，しっかり読み込むと時間がかかりそうです。必要なところだけ拾い出して読みましょう。
目的は\(~\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k+1)\cdot 3^k~\)を計算することです。
「あ！知ってる，この解法」
と思った人や，1行目にある久米さんの会話の中に
「\(S_n-rS_n~\)を計算して \(\cdots\)」
とあるのを見て解法を思い出した人の中には，その計算法で計算を進めた人もいたでしょう。
もちろん，この「\(S_n-rS_n\)を計算して求める」という解法は，教科書にも載っていて有名な解法なので，当然知っておかなければなりません。
でもその解法しか知らないと，この(2)までは解けても(3)は苦労するでしょう。
先生の会話文の中に「今回は別の方法でこの和を求めてみましょう」とあります。よく知られた問題の，別解を考えてみよう，ということですね。
その別解について知らなくても，会話文の中で作る式の形などを示してくれているので，その通りに進めていけば，解くことは可能でしょう。
でも，もしこの別解を知っていた人ならば，会話文はほぼ読む必要がありません。
その分，素早く問題を解くことができるでしょう。知識は力ですね
ポイントは，\((k+1)\cdot 3^k~\)を差の形にすることです。
\[ (k+1)\cdot 3^k=\left( s(k+1)+t \right)\cdot 3^{k+1} – (sk+t)\cdot 3^k \]
を与えられているので，この右辺の\(~s,~t~\)を求めます。
あとはシグマをとれば・・・部分分数分解と同じように，前後の項が消えてしまい，楽に計算できます。
(2) \[ (k+1)\cdot 3^k=\left( s(k+1)+t \right)\cdot 3^{k+1} – (sk+t)\cdot 3^k \] 両辺を\(3^k\)で割って整理すると \[ k+1=2sk+(3s+2t) \] これは\(k\)についての恒等式であるから \begin{align*} 2s=1~ \text{かつ} ~3s+2t=1 \\ ∴ s=\frac12,~t=-\frac14 \quad \cdots \textrm{（答）} \end{align*} したがって \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}(k+1)\cdot 3^k=& \sum_{k=1}^{n}\left\{ \left( \frac12(k+1)-\frac14 \right)\cdot 3^{k+1}-\left( \frac12k-\frac14 \right) \cdot 3^k \right\} \\ =& \left( \frac12(n+1)-\frac14\right) \cdot 3^{n+1}-\left( \frac12\cdot 1-\frac14\right)\cdot 3^1 \\ =& \frac{(2n+1)\cdot 3^{n+1}-3}{4} \quad \cdots \textrm{（答）} \end{align*}
この解法を知ってどう思いましたか？
「また新しい解法を学んだ。これも覚えておこう」
と思う人は多いでしょうが，そのレベルでは勿体無い。さらに大きな視点で考えましょう。
この解法と，部分分数分解とに共通することは何でしょうか？
(1)と(2)は一見別の問題であり，別々の解法を使っているように見えます。でもよく考えてみれば，共通した考え方がありますよね。
そう，それは「差の形を作る」ことによって計算がしやすくなっていることです。
もう少し丁寧にいうと，\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}f(k)\)の計算は，
\[ f(k)=g(k+1)-g(k) \]
を満たす\(g(k)\)を求めることができれば，簡単に計算することができます。
これが解法の本質であり，部分分数分解はその手段の一つ，と位置付けることができます。
そしてその\(g(k)\)は，\(f(k)\)の形から推測ができるのです。
この本質が理解できれば，次の(3)も解けたでしょう。
(3) \[ (k^2+k+1)\cdot 3^k=\left(s(k+1)^2+t(k+1)+u\right)\cdot 3^{k+1}-(sk^2+tk+u)\cdot 3^k \] 両辺を\(3^k\)で割って整理すると \[ k^2+k+1=2sk^2+(6s+2t)k+(3s+3t+2u) \] これは\(k\)についての恒等式であるから \begin{align*} 2s=1~ \text{かつ} ~6s+2t=1 ~\text{かつ} ~3s+3t+2u=1\\ ∴ s=\frac12,~t=-1,~u=\frac54 \end{align*} したがって \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}(k^2+k+1)\cdot 3^k=& \sum_{k=1}^{n}\left\{ \left( \frac{(k+1)^2}{2}-(k+1)+\frac54 \right)\cdot 3^{k+1}-\left( \frac{k^2}{2}-k+\frac54 \right) \cdot 3^k \right\} \\ =& \left( \frac{(n+1)^2}{2}-(n+1)+\frac54\right) \cdot 3^{n+1}-\left( \frac{1^2}{2}-1+\frac54\right)\cdot 3^1 \\ =& \frac{(2n^2+3)\cdot 3^{n+1}-9}{4} \quad \cdots \textrm{（答）} \end{align*}
ポイントはもちろん，\((k^2+k+1)\cdot 3^k\)を差の形に分けることです。2次式と\(3^k\)の積なので，差の形も似たような形になるだろうと推測します。
\(g(k+1)-g(k)\)の形にするので，前後で1ずれていることに注意しましょう。
この問題は，差の形を使わずに，受験生によく知られている，\(S_n-rS_n\)を使って解くこともできます。
ただし，その計算は2回しなければなりません。そのため，計算に多くの時間がかかりますし，ミスの可能性も格段に高くなります。
そういう意味でも，受験生がよく知っている解法よりも，この差の形を作る解法の方が，応用も効くし本質的な解法だと言っていいと思います。
知らなかった人はぜひ「差の形を作る」と覚えておきましょう。
ここまでの説明が理解できた人ならば，(4)の解答もスムーズに理解できるでしょう。
(4) \begin{align*} \frac{1}{(3k-1)\cdot 2^k}-\frac{1}{(3k+2)\cdot 2^{k+1}}=& \frac{2(3k+2)-(3k-1)}{(3k-1)(3k+2)\cdot 2^{k+1}} \\ =& \frac{3k+5}{(3k-1)(3k+2)\cdot 2^{k+1}} \end{align*} したがって \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}\frac{3k+5}{(3k-1)(3k+2)\cdot 2^{k+1}}=& \sum_{k=1}^{n}\left\{ \frac{1}{(3k-1)\cdot 2^k}-\frac{1}{(3k+2)\cdot 2^{k+1}} \right\} \\ =& \frac{1}{2\cdot 2^1}-\frac{1}{(3n+2)\cdot 2^{n+1}} \\ =& \frac{(3n+2)\cdot 2^{n-1}-1}{(3n+2)\cdot 2^{n+1}} \quad \cdots \textrm{（答）} \end{align*}
部分分数分解の発展形みたいなものです。差の形にすることが目的だ，と思えば理解できるでしょう。
本番で解けた人は少なかったかもしれませんが，知識として知っていた人なら，スムーズに解けたでしょう。
部分分数鵜分解の解法から，この「差の形を作る」解法にアップデートしておきましょう。
この問題のポイント
振り返ってみましょう。
この問題が解けるかどうかのポイントは、
- 部分分数分解を使って解けるか
- 誘導を用いて差の形を作る解法を使えるか
- 式の形から差の形を予想できるか
- 差の形を作る解法が本質的であることを理解できるか
といったところです。
少しレベルの高い問題でしたが，知識があれば他の受験生に差をつけることができます。ぜひマスターしておきましょう。
※誤植やミスを見つけた方は，ぜひお知らせください。
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