平成28年度(2016)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答(5/5)

過去問で学ぶ推薦入試数学

過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 平成28年度は全部で5問出題されました。 そのうちの5番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

平成28年度(2016)推薦入試[5]

問題

5種類の異なる香りの香水をしみこませた紙切れをそれぞれ5枚ずつ計25枚用意する。これらを袋に入れた後,その中からランダムに1枚ずつ紙切れを取り出して香りを嗅ぐことを5回繰り返す。取り出した紙切れは元へは戻さないものとする。このようにして1回目から5回目まで嗅いだ香りのうち,同じ香りがした回を答えるという遊びを行うことにする。香りは常に正しく嗅ぎ分けられるものとする。

同じ香りがした回を()でひとくくりにして小さい方から順に左から並べ,()内の最も左側の数字が小さいものから順に()を左から並べて答えを表す。例えば,(1),(2,3,5),(4)であれば,\(~2\cdot 3\cdot 5~\)回目が同じ香りで,1回目と4回目はそれとはそれぞれ異なる香りがしたことを意味する。

  1. 答えが,(1,2,3,4,5)となる確率を求めよ。
  2. 答えが(1),(2),(3),(4),(5)となる確率を求めよ。
  3. 5回嗅いだ香りのうち,ある香りが2回,それとは異なる香りが2回,そしてそのどちらとも異なる香りが1回するような答えの組合せは全部で何通りあるか,答えよ。

久留米推薦(平成28年度)

解答

(1) 5回とも同じ香りになる確率は \[ \begin{align*} \dfrac{5!}{_{25}\rm{P}_5} \times 5=&\dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21} \times 5 =&\dfrac{1}{10626} \quad \cdots (答) \end{align*} \] (2) 5回ともすべて異なる香りである確率は \[ \begin{align*} \dfrac{5^5}{_{25}\rm{P}_5} \times 5!=&\dfrac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21} \times 5! =&\dfrac{625}{10626} \quad \cdots (答) \end{align*} \] (3) \(1,~2,~3,~4,~5~\)の5つの数字を,\(~1~\)個,\(~2~\)個,\(~2~\)個と3つの組に分ける方法なので \[ \begin{align*} \dfrac{_5\rm{C}_1 \times _4\rm{C}_2 \times _2\rm{C}_2}{2!}=15(通り)\cdots (答) \end{align*} \]

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