この記事には，久留米大学医学部推薦入試過去問の詳しい解説が載っています。
過去問を通して久留米大学医学部の数学について学べるように，授業のような解説にしています。これまで勉強してきたことを整理し、あなたの数学力をレベルアップしましょう！
解答はすでにこちらの記事で示しております。
令和05年度(2023)久留米大学医学部推薦入試数学［３］
式を立てて解く！空間ベクトル
空間ベクトルの問題を解くためには，基準となる3つのベクトルを用いて式をつくることになります。
指定がなければ自由に設定してもいいのですが，問題の中で指定されていることもあります。
今回は，
\[\overrightarrow{\textrm{AB}}=\vec{p},~\overrightarrow{\textrm{AF}}=\vec{q},~\overrightarrow{\textrm{AG}}=\vec{r}\]
\[\overrightarrow{\textrm{AB}}=\vec{p},~\overrightarrow{\textrm{AF}}=\vec{q},~\overrightarrow{\textrm{AG}}=\vec{r}\]
とあるので，この3つのベクトルを用いていくことになります。
なお，(1)は内積の定義を用いて計算するだけです。
(1) \[\vec{p}\cdot \vec{q}=|\vec{p}||\vec{q}|\cos \frac{2\pi}{3}=1 \cdot 1 \cdot \left( -\frac12 \right)=-\frac12. \quad \cdots \text{（答）} \]
\( \vec{p} \perp \vec{r},~ \vec{q} \perp \vec{r}\)なので
\[ \vec{p} \cdot \vec{r}=\vec{q} \cdot \vec{r}=0 \quad \cdots \text{（答）}\]
(2) \begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AK}}= & \overrightarrow{\textrm{AF}}+\overrightarrow{\textrm{FE}}+\overrightarrow{\textrm{EK}} \\
= & \overrightarrow{\textrm{AF}}+\left( \overrightarrow{\textrm{AB}}+\overrightarrow{\textrm{AF}} \right) +\overrightarrow{\textrm{AG}} \\
= & \vec{p}+2\vec{q}+\vec{r} \quad \therefore{4.} \quad \cdots \text{（答）} \end{align*}
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AI}}= & \overrightarrow{\textrm{AB}}+\overrightarrow{\textrm{BC}}+\overrightarrow{\textrm{CI}} \\
= & \overrightarrow{\textrm{AB}}+\left( \overrightarrow{\textrm{AB}}+\overrightarrow{\textrm{AF}} \right)+\overrightarrow{\textrm{AG}} \\
= & 2\vec{p}+\vec{q}+\vec{r} \quad \therefore{3.}\quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
\( \vec{p} \perp \vec{r},~ \vec{q} \perp \vec{r}\)なので
\[ \vec{p} \cdot \vec{r}=\vec{q} \cdot \vec{r}=0 \quad \cdots \text{（答）}\]
(2) \begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AK}}= & \overrightarrow{\textrm{AF}}+\overrightarrow{\textrm{FE}}+\overrightarrow{\textrm{EK}} \\
= & \overrightarrow{\textrm{AF}}+\left( \overrightarrow{\textrm{AB}}+\overrightarrow{\textrm{AF}} \right) +\overrightarrow{\textrm{AG}} \\
= & \vec{p}+2\vec{q}+\vec{r} \quad \therefore{4.} \quad \cdots \text{（答）} \end{align*}
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AI}}= & \overrightarrow{\textrm{AB}}+\overrightarrow{\textrm{BC}}+\overrightarrow{\textrm{CI}} \\
= & \overrightarrow{\textrm{AB}}+\left( \overrightarrow{\textrm{AB}}+\overrightarrow{\textrm{AF}} \right)+\overrightarrow{\textrm{AG}} \\
= & 2\vec{p}+\vec{q}+\vec{r} \quad \therefore{3.}\quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
2つの式を立てて係数を比較しよう
このあと，\(\overrightarrow{\textrm{AP}}\)について，2つの式を立てます。
1つの式は「点\(\textrm{P}\)が平面上にあること」を用いて，もう1つの式は「点\(\textrm{P}\)が線分\(\textrm{LC}\)上にあること」を用います。
どちらも基準のベクトルで表すことができれば，同じ\(\overrightarrow{\textrm{AP}}\)なので係数を比較して決定することができます。
この，2つの式を立てて係数を比較する，というのはベクトルの問題を解くときの定番の手順なので，しっかり習得しましょう。
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AP}}= & s\overrightarrow{\textrm{AK}}+t\overrightarrow{\textrm{AI}} \\
= & s \left( \vec{p}+ 2\vec{q}+\vec{r} \right) + t \left( 2\vec{p}+ \vec{q}+\vec{r} \right)\\
= & (s+2t)\vec{p}+(2s+t)\vec{q}+(s+t)\vec{r} \quad \cdots [1] \end{align*}
よって \( \qquad {4},~{2},~{0} \quad \cdots \text{（答）} \)
また，
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AL}}= & \overrightarrow{\textrm{AF}}+\overrightarrow{\textrm{FL}} \\
= & \overrightarrow{\textrm{AF}}+\overrightarrow{\textrm{AG}} \\
= & \vec{q}+\vec{r} \quad \quad \cdots \text{（答）} \\
\overrightarrow{\textrm{LC}}= & \overrightarrow{\textrm{LI}}+\overrightarrow{\textrm{IC}}\\
= & 2\overrightarrow{\textrm{AB}}+\overrightarrow{\textrm{GA}} \\
= & 2\vec{p}-\vec{r} \quad \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
点\(\textrm{P}\)は直線\(\textrm{LC}\)上にあるので，実数\(u\)を用いて
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AP}}= & \overrightarrow{\textrm{AL}}+u\overrightarrow{\textrm{LC}} \\
= & \left( \vec{q}+\vec{r} \right) +u \left( 2\vec{p}-\vec{r} \right) \\
= & 2u\vec{p}+ \vec{q}+(1-u)\vec{r} \quad \cdots [2]
\end{align*}
\(\vec{p} \nparallel \vec{q},~\vec{q} \nparallel \vec{r},~\vec{r} \nparallel \vec{p},~\vec{p} \ne \vec{0},~\vec{q} \ne \vec{0},~\vec{r} \ne \vec{0}\)であるから，\([1],~[2]\)より
\begin{align*}
\begin{cases}
s+2t= & 2u \\
2s+t= & 1 \\
s+t= & 1-u
\end{cases}
\end{align*}
これを解いて\( s=\dfrac25,~t=\dfrac15,~u=\dfrac25. \)
したがって
\[
\overrightarrow{\textrm{AP}}=\frac25 \overrightarrow{\textrm{AK}}+\frac15 \overrightarrow{\textrm{AI}} \quad \cdots \text{（答）}
\]
\overrightarrow{\textrm{AP}}= & s\overrightarrow{\textrm{AK}}+t\overrightarrow{\textrm{AI}} \\
= & s \left( \vec{p}+ 2\vec{q}+\vec{r} \right) + t \left( 2\vec{p}+ \vec{q}+\vec{r} \right)\\
= & (s+2t)\vec{p}+(2s+t)\vec{q}+(s+t)\vec{r} \quad \cdots [1] \end{align*}
よって \( \qquad {4},~{2},~{0} \quad \cdots \text{（答）} \)
また，
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AL}}= & \overrightarrow{\textrm{AF}}+\overrightarrow{\textrm{FL}} \\
= & \overrightarrow{\textrm{AF}}+\overrightarrow{\textrm{AG}} \\
= & \vec{q}+\vec{r} \quad \quad \cdots \text{（答）} \\
\overrightarrow{\textrm{LC}}= & \overrightarrow{\textrm{LI}}+\overrightarrow{\textrm{IC}}\\
= & 2\overrightarrow{\textrm{AB}}+\overrightarrow{\textrm{GA}} \\
= & 2\vec{p}-\vec{r} \quad \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
点\(\textrm{P}\)は直線\(\textrm{LC}\)上にあるので，実数\(u\)を用いて
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AP}}= & \overrightarrow{\textrm{AL}}+u\overrightarrow{\textrm{LC}} \\
= & \left( \vec{q}+\vec{r} \right) +u \left( 2\vec{p}-\vec{r} \right) \\
= & 2u\vec{p}+ \vec{q}+(1-u)\vec{r} \quad \cdots [2]
\end{align*}
\(\vec{p} \nparallel \vec{q},~\vec{q} \nparallel \vec{r},~\vec{r} \nparallel \vec{p},~\vec{p} \ne \vec{0},~\vec{q} \ne \vec{0},~\vec{r} \ne \vec{0}\)であるから，\([1],~[2]\)より
\begin{align*}
\begin{cases}
s+2t= & 2u \\
2s+t= & 1 \\
s+t= & 1-u
\end{cases}
\end{align*}
これを解いて\( s=\dfrac25,~t=\dfrac15,~u=\dfrac25. \)
したがって
\[
\overrightarrow{\textrm{AP}}=\frac25 \overrightarrow{\textrm{AK}}+\frac15 \overrightarrow{\textrm{AI}} \quad \cdots \text{（答）}
\]
違う解法に見えるけど・・・同じ解法です
このあとの最後の問題はどう解くのでしょうか。
見た目は違うことをしているように見えます。
でも実は，ここも同じように「2つの式を立てて係数比較」で解いています。分かりますか？
また，3点\(\textrm{A},~\textrm{P},~\textrm{Q}~\)は一直線上に並んでいるので，
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AQ}}= & k\overrightarrow{\textrm{AP}} \\
= & \frac{2k}{5}\overrightarrow{\textrm{AK}}+\frac{k}{5}\overrightarrow{\textrm{AI}}
\end{align*}
を満たす実数\(~k~\)が存在する。
点\(\textrm{Q}\)は，線分\(\textrm{KI}\)上にあるから
\begin{align*}
\frac{2k}{5}+\frac{k}{5}= & 1 \\
k= & \frac{5}{3}
\end{align*}したがって \begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AQ}}= & \frac25 \cdot \frac53 \overrightarrow{\textrm{AK}}+\frac15 \cdot \frac53 \overrightarrow{\textrm{AI}} \\
= & \frac23 \overrightarrow{\textrm{AK}} +\frac13 \overrightarrow{\textrm{AI}}
\end{align*}
よって点\(~\textrm{Q}~\)は，線分\(~\textrm{KI}~\)を\(~1:2~\)に内分する点である。\(\quad \therefore 2 \quad \cdots \text{（答）}\)
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AQ}}= & k\overrightarrow{\textrm{AP}} \\
= & \frac{2k}{5}\overrightarrow{\textrm{AK}}+\frac{k}{5}\overrightarrow{\textrm{AI}}
\end{align*}
を満たす実数\(~k~\)が存在する。
点\(\textrm{Q}\)は，線分\(\textrm{KI}\)上にあるから
\begin{align*}
\frac{2k}{5}+\frac{k}{5}= & 1 \\
k= & \frac{5}{3}
\end{align*}したがって \begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AQ}}= & \frac25 \cdot \frac53 \overrightarrow{\textrm{AK}}+\frac15 \cdot \frac53 \overrightarrow{\textrm{AI}} \\
= & \frac23 \overrightarrow{\textrm{AK}} +\frac13 \overrightarrow{\textrm{AI}}
\end{align*}
よって点\(~\textrm{Q}~\)は，線分\(~\textrm{KI}~\)を\(~1:2~\)に内分する点である。\(\quad \therefore 2 \quad \cdots \text{（答）}\)
「2つの式」のうち1つはすぐ分かります。以下のところです。
3点 \(\textrm{~A, ~P, ~Q ~}\)は一直線上に並んでいるので}
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AQ}}= & k\overrightarrow{\textrm{AP}} \\
= & \frac{2k}{5}\overrightarrow{\textrm{AK}}+\frac{k}{5}\overrightarrow{\textrm{AI}} \cdots [1]
\end{align*}
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AQ}}= & k\overrightarrow{\textrm{AP}} \\
= & \frac{2k}{5}\overrightarrow{\textrm{AK}}+\frac{k}{5}\overrightarrow{\textrm{AI}} \cdots [1]
\end{align*}
「もう1つの式は\(\dfrac{2k}{5}+\dfrac{k}{5}= 1 \)でしょ？でも係数比較なんかしてないよ。これは係数の和が1となることを使った，新しい別の解法だよ。これも覚えとかなきゃ・・・」
違います。これも「2つの式を立てて係数比較する」という，同じ解法なのです。
実はもう1つの式(2つ目の式)は書いてありません。書かずに，係数比較した結果だけ記述しているのです。書くとしたら次のような式になります。
点\(~\textrm{Q}~\)は線分\(~\textrm{KI}~\)上にある。実数\(~m~\)を用いて\(~\textrm{KQ : QI}=m : (1-m)~\)として
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AQ}}=(1-m)\overrightarrow{\textrm{AK}} +m \overrightarrow{\textrm{AI}} \cdots [2]
\end{align*}
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AQ}}=(1-m)\overrightarrow{\textrm{AK}} +m \overrightarrow{\textrm{AI}} \cdots [2]
\end{align*}
そして，\([1],~[2]\)を係数比較すると
\begin{align*}
\begin{cases}
\dfrac{2k}{5}= & 1-m \\
\dfrac{k}{5}= & m
\end{cases}
\end{align*}
\begin{cases}
\dfrac{2k}{5}= & 1-m \\
\dfrac{k}{5}= & m
\end{cases}
\end{align*}
この2つの式を連立して\(m\)を消去したのが，\(\dfrac{2k}{5}+\dfrac{k}{5}= 1 \)なのです。
つまり，「係数の和が1となることを使う」というのは，全く別の解法ではなく，係数比較して連立した式の結果をいきなり使っている解法なのです。
このように，本来は同じ解法であるのに，時間短縮のために途中の過程を省いたような解き方が色々あるので，受験生は「ベクトルって色々な解法があるので，覚えるのが大変だ！」と思っている人も多いです。でも根っこは同じ解法なのです。
ですから，まず「2式を立てて係数比較する」という解法をしっかりと理解し，それができるようになれば，時間短縮のためのショートカットの方法を身につけましょう。
ちなみに，今回の問題は次のように解くのが一番早いです。
\(\overrightarrow{\textrm{AP}}=\dfrac25 \overrightarrow{\textrm{AK}}+\dfrac15 \overrightarrow{\textrm{AI}}\)を求めたあと，無理やり変形していく手法です。
\(\overrightarrow{\textrm{AP}}=\dfrac25 \overrightarrow{\textrm{AK}}+\dfrac15 \overrightarrow{\textrm{AI}}\)を求めたあと，無理やり変形していく手法です。
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AP}}= & \frac25 \overrightarrow{\textrm{AK}}+\frac15 \overrightarrow{\textrm{AI}} \\*
= & \frac{3}{5} \left( \frac23 \overrightarrow{\textrm{AK}}+\frac13 \overrightarrow{\textrm{AI}}\right)
\end{align*}
これより，\(\overrightarrow{\textrm{AQ}}=\dfrac23 \overrightarrow{\textrm{AK}}+\dfrac13 \overrightarrow{\textrm{AI}}\)とわかる。
よって点\(\textrm{Q}\)は，線分\(\textrm{KI}\)を\(1 : 2\)に内分する点である。
\overrightarrow{\textrm{AP}}= & \frac25 \overrightarrow{\textrm{AK}}+\frac15 \overrightarrow{\textrm{AI}} \\*
= & \frac{3}{5} \left( \frac23 \overrightarrow{\textrm{AK}}+\frac13 \overrightarrow{\textrm{AI}}\right)
\end{align*}
これより，\(\overrightarrow{\textrm{AQ}}=\dfrac23 \overrightarrow{\textrm{AK}}+\dfrac13 \overrightarrow{\textrm{AI}}\)とわかる。
よって点\(\textrm{Q}\)は，線分\(\textrm{KI}\)を\(1 : 2\)に内分する点である。
これも，2つの式を背景にしています。式を立てるというより，無理やりその2式を作っている，という感じです。
ここまでできるようになると，かなり時間を短縮できます。練習しておきましょう。
この問題のポイント
振り返ってみましょう。
この問題が解けるかどうかのポイントは、
- 基準ベクトルで表すことを意識しているか
- 2つの式を立てて係数比較できるか
- 時間を短縮するための手法を身につけられるか
といったところです。
ここが理解できれば，見通しを持ってベクトルを解くことができるようになります。しっかり理解しましょう。
※誤植やミスを見つけた方は，ぜひお知らせください。
