過去問で学ぶ推薦入試数学

平成31年度(2019)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答(4/5)

過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 平成31年度入試では全部で5問出題されました。 そのうちの4番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

平成31年度(2019)推薦入試[4]

問題

一般項が\(~a_n=6^{n+2}+7^{2n+1}~(n=1,~2,~3,~\cdots)~\)で表される数列\(~\{a_n\}~\)を考える。
すべての自然数\(~n~\)に対して,\(~\{a_n\}~\)が\(~43~\)で割り切れることを証明せよ。

 

久留米推薦(平成31年度入試)

解答

合同式を用いて証明する。 \begin{align*} a_n &=6^{n+2}+7^{2n+1} \\ &=6^{n+2}+7^{2n}\cdot 7^1 \\ &=6^n\cdot 6^2+49^n \cdot 7 \\ &\equiv 6^n \cdot 36+6^n \cdot 7 \pmod{43} \\ &=6^n(36+7) \\ &=6^n \cdot 43 \\ &\equiv 0 \pmod{43} \end{align*} したがって,すべての自然数$n$に対して\(a_n\)が\(43\)で割り切れることが示された。

 

さらに詳しい解説授業もあります

この問題でさらに力をつけよう!詳しい解説授業はこちら

 

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