平成31年度(2019)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答(3/5)

過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 平成31年度入試では全部で5問出題されました。 そのうちの3番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

平成31年度(2019)推薦入試[3]

問題

実数\(~x,~y~\)が不等式\(~x^2+y^2-4x-4y+4 \leqq 0~\)を満たすとき,次の問いに答えよ。
  1. \(~(x-5)^2+(y-6)^2~\)のとりうる値の範囲を求めよ。
  2. \(~(3x+4y)^2-14(3x+4y)+50~\)のとりうる値の範囲を求めよ。

 

久留米推薦(平成31年度入試)

解答

与えられた不等式より \begin{align*} (x-2)^2+(y-2)^2\leqq 4 \end{align*} 座標平面においてこの不等式を満たす実数\(~x,~y~\)が存在する領域\(~D~\)は,中心\(~\rm{A}(2,~2)~\),半径が\(~2~\)の円の円周上および内部である。
  1. \(~d^2=(x-5)^2+(y-6)^2~\)とおくと,\(d~\)は点\(~\rm{P}(x,~y)~\)と点\(~\rm{B}(5,~6)~\)との距離\(\rm{BP}\)を表す。\(\rm{BP}~\)が最大となるのは3点\(\rm{B},~\rm{A},~\rm{P}~\)がこの順に一直線上に並ぶときであり,\(~\rm{BP}~\)が最小となるのは3点\(~\rm{B},~\rm{P},~\rm{A}~\)がこの順に一直線上に並ぶときである。
    \(\quad \rm{AB}=\sqrt{(5-2)^2+(6-2)^2}=5~\)であり,円の半径は\(~2~\)であるから \begin{align*} \rm{AB}-2 &\leqq d \leqq \rm{AB}+2 \\ 3 &\leqq d \leqq 7 \\ 9 &\leqq d^2 \leqq 49 \end{align*} したがって,\((x-5)^2+(y-6)^2~\)のとりうる値の範囲は \begin{align*} 9 \leqq (x-5)^2+(y-6)^2 \leqq 49 \qquad \cdots \text{(答)} \end{align*}
  2. まず\(~3x+4y~\)のとりうる値の範囲を調べる。
    \(~3x+4y=k~\)とおくと,これは座標平面において直線\(~3x+4y-k=0~\)を表す。この直線が領域\(~D~\)と共有点をもつ条件は,円の中心\(~\rm{A}~\)と直線との距離が半径\(~2~\)以下であることである。よって \begin{align*} \frac{|3\cdot 2+ 4\cdot 2-k|}{\sqrt{3^2+4^2}} \leqq 2 \\ |k-14| \leqq 10 \\ -10 \leqq k-14 \leqq 10 \\ 4 \leqq k \leqq 24 \end{align*} \(~k~\)の値がこの範囲で動くとき, \begin{align*} (3x+y)^2-14(3x+4y)^2+50&=k^2-14k+50 \\ &=(k-7)^2+1 \end{align*} は,\(k=7~\)のとき最小値\(~1~\)をとり,\(k=24~\)のとき最大値\(~290~\)をとる。 \begin{align*} \therefore \quad 1 \leqq (3x+y)^2-14(3x+4y)^2+50 \leqq 290 \qquad \cdots \text{(答)} \end{align*}

 

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