平成31年度(2019)久留米大学医学部推薦入試数学過去問の解説授業（3／5）

与えられた不等式より

\begin{align*}
(x-2)^2+(y-2)^2\leqq 4
\end{align*}

座標平面においてこの不等式を満たす実数\(~x,~y~\)が存在する領域\(~D~\)は，中心A\((2,~2)\)，半径が\(~2~\)の円の円周上および内部である。

1. \(d^2=(x-5)^2+(y-6)^2~(d > 0)\)とおくと，\(d~\)は点P\((x,~y)~\)と点B\((5,~6)~\)との距離BPを表す。

BPが最大となるのは3点B\(,~\)A\(,~\)P\(~\)がこの順に一直線上に並ぶときであり，BPが最小となるのは3点B\(,~\)P\(,~\)A\(~\)がこの順に一直線上に並ぶときである。

AB\(=\sqrt{(5-2)^2+(6-2)^2}=5~\)であり，円の半径は\(~2~\)であるから

\begin{align*}
\rm{AB}-2 &\leqq d \leqq \rm{AB}+2 \\
3 &\leqq d \leqq 7 \\
9 &\leqq d^2 \leqq 49
\end{align*}
したがって，\((x-5)^2+(y-6)^2\)のとりうる値の範囲は
\begin{align*}
9 \leqq (x-5)^2+(y-6)^2 \leqq 49 \qquad \cdots \text{(答)}
\end{align*}

まず\(~3x+4y~\)のとりうる値の範囲を調べる。
\(3x+4y=k~\)とおくと，これは座標平面において直線\(~3x+4y-k=0~\)を表す。この直線が領域\(~D~\)と共有点をもつ条件は，円の中心Aと直線との距離が半径\(~2~\)以下であることである。よって
\begin{align*}
\frac{|3\cdot 2+ 4\cdot 2-k|}{\sqrt{3^2+4^2}} \leqq 2 \\
|k-14| \leqq 10 \\
-10 \leqq k-14 \leqq 10 \\
4 \leqq k \leqq 24
\end{align*}
\(k~\)の値がこの範囲で動くとき，
\begin{align*}
(3x+4y)^2-14(3x+4y)+50&=k^2-14k+50 \\
&=(k-7)^2+1
\end{align*}
は，\(~k=7~\)のとき最小値\(~1~\)をとり，\(k=24~\)のとき最大値\(~290~\)をとる。
\begin{align*}
\therefore \quad 1 \leqq (3x+4y)^2-14(3x+4y)+50 \leqq 290 \qquad \cdots \text{(答)}
\end{align*}