平成28年度(2016)久留米大学医学部推薦入試数学過去問の解説授業（３／５）

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この記事には，久留米大学医学部の過去問の詳しい解説が載っています。過去問を通して久留米大学医学部の数学について学べるように，授業のような解説にしています。これまで勉強してきたことを整理し、あなたの数学力をレベルアップしましょう！

解答はすでにこちらの記事で示しております。

平成28年度(2016)久留米大学医学部推薦入試数学［３］

大問３は平面ベクトルの問題です。以前は「久留米大学医学部ではベクトルは出題されない」と言っていたものですが，最近は推薦試験・一般試験とも出題されるようになりました。しかしそのほとんどは空間ではなく平面ベクトルの問題です。ですからまず，平面ベクトルを中心に対策しておきましょう。

(1) 上図より

\begin{aligned} \vec{OX} = & \frac{1}{2} \vec{OB} + \frac{1}{2} \vec{OC} \\ = & \frac{1}{2} \vec{OB} + \frac{1}{2} (\vec{OA} + \vec{AC}) \\ = & \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} (\vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}) \\ = & \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} \end{aligned}

したがって

\begin{aligned} \vec{A X} = & \vec{O X} - \vec{O A} \\ = & (\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}) - \vec{a} \\ = & - \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} \dots （答） \end{aligned}

(2)

\begin{aligned} \vec{Y X} = & \vec{O X} - \vec{O Y} \\ = & (\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}) - \frac{4}{9} \vec{b} \\ = & \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{2}{9} \vec{b} \dots （答） \end{aligned}

前半部分は，図をきちんと書いて，ベクトルの和・差を使えば答は出せると思います。解答例とは違うやり方であっても何ら問題はありません。 (1)(2)は絶対に解きましょう。

後半は，直角という条件から「内積イコール0」の式を立てます。あとは計算手順に従っていけば答は自動的に導かれます。

(3)

∠ A Y X = \frac{π}{2}

のとき,

A Y ⊥ Y X

すなわち

\vec{A Y} \cdot \vec{Y X} = 0

である。

\vec{A Y} = \vec{O Y} - \vec{O A} = - \vec{a} + \frac{4}{9} \vec{b}

であるから

\begin{aligned} (- \vec{a} + \frac{4}{9} \vec{b}) \cdot (\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{2}{9} \vec{b}) = & 0 \\ - \frac{1}{2} (\vec{a} - \frac{4}{9} \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \frac{4}{9} \vec{b}) = & 0 \\ | \vec{a} |^{2} - \frac{16}{81} | \vec{b} |^{2} = & 0 \end{aligned}

| \vec{b} | = 3 r

なので

\begin{aligned} | \vec{a} |^{2} - \frac{16}{81} (3 r)^{2} = & 0 \\ | \vec{a} |^{2} = & \frac{16}{9} r^{2} \end{aligned}

したがって

OA = | \vec{a} | = \frac{4}{3} r \dots （答）

ベクトルの問題はこのように，問題文の設定にしたがって式を立てれば，あとは手順通り解いていけば答えが出るものです。この流れをつかめば，ベクトルが得意になれるはずです。早くマスターしておきましょう。

振り返ってみましょう。

この問題が解けるかどうかのポイントは、

特に難しいところはありません。完答しましょう。