過去問で学ぶ推薦入試数学

平成28年度(2016)久留米大学医学部推薦入試数学過去問の解説授業(3/5)

この記事には,久留米大学医学部の過去問の詳しい解説が載っています。過去問を通して久留米大学医学部の数学について学べるように,授業のような解説にしています。これまで勉強してきたことを整理し、あなたの数学力をレベルアップしましょう!

解答はすでにこちらの記事で示しております。

平成28年度(2016)久留米大学医学部推薦入試数学[3]

最近増えているベクトルの問題

大問3は平面ベクトルの問題です。 以前は「久留米大学医学部ではベクトルは出題されない」と言っていたものですが,最近は推薦試験・一般試験とも出題されるようになりました。 しかしそのほとんどは空間ではなく平面ベクトルの問題です。 ですからまず,平面ベクトルを中心に対策しておきましょう。

まずは問題文を正確に読み取り,図を書こう

(1) 上図より \[ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{OX}}=&\dfrac12\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\dfrac12 \overrightarrow{\mathrm{OC}} \\ =&\dfrac12 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\dfrac12 \left( \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{AC}} \right) \\ =&\dfrac12 \vec{b}+ \dfrac12 \left( \vec{a}+ \dfrac13 \vec{b} \right) \\ =& \dfrac12 \vec{a}+ \dfrac23 \vec{b} \end{align} \] したがって \[ \begin{align*} \overrightarrow{\rm{AX}}=&\overrightarrow{\rm{OX}}-\overrightarrow{\rm{OA}} \\ =&\left( \dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b} \right)-\vec{a} \\ =&-\dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b} \quad \cdots \text{(答)} \end{align*} \] (2) \[ \begin{align*} \overrightarrow{\rm{YX}}=&\overrightarrow{\rm{OX}}-\overrightarrow{\rm{OY}} \\ =&\left( \dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b} \right)-\dfrac{4}{9}\vec{b} \\ =&\dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{2}{9}\vec{b} \quad \cdots \text{(答)} \end{align*} \]

前半部分は,図をきちんと書いて,ベクトルの和・差を使えば答は出せると思います。 解答例とは違うやり方であっても何ら問題はありません。 (1)(2)は絶対に解きましょう。

直角という条件から内積の式を立てる

後半は,直角という条件から「内積イコール0」の式を立てます。 あとは計算手順に従っていけば答は自動的に導かれます。

(3) \( \angle {\rm{AYX}}=\dfrac{\pi}{2}~\)のとき,\(~\rm{AY} \perp \rm{YX}\)すなわち\(~\overrightarrow{\rm{AY}} \cdot \overrightarrow{\rm{YX}}=0~\)である。\(~\overrightarrow{\rm{AY}}=\overrightarrow{\rm{OY}}-\overrightarrow{\rm{OA}}=-\vec{a}+\dfrac{4}{9}\vec{b}~\)であるから \[ \begin{align*} \left( -\vec{a}+\dfrac{4}{9}\vec{b} \right)\cdot \left( \dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{2}{9}\vec{b} \right)=&0 \\ -\dfrac12 \left( \vec{a}-\dfrac{4}{9}\vec{b} \right)\cdot \left( \vec{a}+\dfrac{4}{9}\vec{b} \right)=&0 \\ |\vec{a}|^2-\dfrac{16}{81}|\vec{b}|^2=&0 \end{align*} \] \( |\vec{b}|=3r\)なので \[ \begin{align*} |\vec{a}|^2-\dfrac{16}{81}(3r)^2=&0 \\ |\vec{a}|^2=&\dfrac{16}{9}r^2 \end{align*} \] したがって \[ \mathrm{OA}=|\vec{a}|=\dfrac{4}{3}r \quad \cdots \text{(答)} \]

ベクトルの問題はこのように,問題文の設定にしたがって式を立てれば,あとは手順通り解いていけば答えが出るものです。 この流れをつかめば,ベクトルが得意になれるはずです。 早くマスターしておきましょう。

この問題のポイント

振り返ってみましょう。

この問題が解けるかどうかのポイントは、

  1. ベクトルの和と差・実数倍を用いることができる
  2. 直角から内積=0に気付くことができる
  3. 立てた式を手順通りに解くことができる

特に難しいところはありません。完答しましょう。

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