平成30年度(2018)久留米大学医学部一般入試数学の過去問と解答(5/6)

過去問を利用して、久留米大学医学部一般入試の数学について学びましょう。 平成30年度入試では全部で6問出題されました。 そのうちの5番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

平成30年度(2018)一般入試[5]

問題

複素数平面上に3点\( \rm{A}(-1+5\mathit{i}),~\rm{B}(2+3\mathit{i}),~\rm{C}(3-2\mathit{i})\)がある。

  1. \( \triangle{\rm{ABC}}\)の重心を複素数で表すと\(\boxed{\Large\phantom{ppppp}}\)である。
  2. \(\angle{\rm{ABC}}\)の大きさは\(\boxed{\Large\phantom{ppppp}}\)である。

久留米一般(平成30年度入試)

解答

\( \quad \alpha=-1+5i,~\beta=2+3i,~\gamma=3-2i~\)とおく。

  1. \( \triangle{\mathrm{ABC}}\)の重心を表す複素数は\( \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\)である。したがって \begin{align*} \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}&=\frac{(-1+5i)+(2+3i)+(3-2i)}{3} \\ &=\frac{4+6i}{3} \\ &=\frac43+2i \quad \cdots \text{(答)} \end{align*}
  2. \( \angle{\mathrm{ABC}} \)は複素数平面における偏角\(\mathrm{arg}\frac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}\)を用いて \begin{align*} \mathrm{arg}\frac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}&=\mathrm{arg}\frac{(3-2i)-(2+3i)}{(-1+5i)-(2+3i)} \\ &=\mathrm{arg}\frac{1-5i}{-3+2i} \\ &=\mathrm{arg}(-1+i) \\ &=\frac34 \pi +2n\pi \quad (n\text{は整数}) \end{align*} したがって\( \angle{\mathrm{ABC}} \)の大きさは \begin{align*} \frac34 \pi \quad \cdots \text{(答)} \end{align*}

 

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