[mathjax]
この記事には，久留米大学医学部一般入試過去問の詳しい解説が載っています。過去問を通して久留米大学医学部の数学について学べるように，授業のような解説にしています。これまで勉強してきたことを整理し、あなたの数学力をレベルアップしましょう！
解答はすでにこちらの記事で示しております。
平成30年度(2018)久留米大学医学部一般入試数学［６］
(1)は唐突に感じるけど，誘導です
これまでの久留米医学部の問題は，誘導がついているイメージはありませんでしたが，この問題の(1)は誘導になってます。
文字が多いこともあって，試験中に「これは何をさせられているんだろうか」と戸惑った人も多かったようです。文字のままで解くだけなので，丁寧に解きましょう。
形がきれいではありませんが，久留米医学部の問題ではよくあることなので，気にしないようにしましょう。
- \( \quad \)漸化式の両辺を\(r^{n+1}(\ne 0)\)で割ると \begin{align*} \frac{a_{n+1}}{r^{n+1}}=\frac{p}{r}\cdot \frac{a_{n}}{r^{n}}+\frac{q}{r} \end{align*} \( p \ne r \)であることに注意して式を変形すると \begin{align*} \frac{a_{n+1}}{r^{n+1}}-\frac{q}{r-p}=\frac{p}{r}\left( \frac{a_{n}}{r^{n}}-\frac{q}{r-p} \right) \end{align*} 数列\( \left\{ \frac{a_{n}}{r^{n}}-\frac{q}{r-p} \right\}\)は，初項\( \frac{a_{1}}{r^{1}}-\frac{q}{r-p}=\frac{a}{r}-\frac{q}{r-p} \)，公比\( \frac{p}{r} \)の等比数列である。したがって \begin{align*} \frac{a_{n}}{r^{n}}-\frac{q}{r-p}=&\left( \frac{a}{r}-\frac{q}{r-p} \right) \left( \frac{p}{r} \right)^{n-1} \\ a_n=&\left( a-\frac{qr}{r-p} \right)p^{n-1}+\frac{qr^n}{r-p} \qquad \cdots \text{（答）} \end{align*}
推移図を描けるかどうかがポイント
漸化式を立てるために，推移図を描いてみましょう。例えば次のような図です。
推移図より，状態Bになるためには，状態Aからは確率\( \frac16 \)，状態Bからは確率\( \frac13 \)，状態Cからは確率\( \frac16 \)，であることが分かります。あとはそれを式にするだけです。
- \(\quad \)第\(n+1 \)日目に状態Bであるとき，第\(n\)日目の状態で分けると以下の3つのパターンがある。
\(\qquad \)第\(n\)日目に状態Aにあり，第\(n+1\)日目に状態Bになった
\(\qquad \)第\(n\)日目に状態Bにあり，第\(n+1\)日目に状態Bになった
\(\qquad \)第\(n\)日目に状態Cにあり，第\(n+1\)日目に状態Bになった
したがって，第\(n+1 \)日目に状態Bである確率\(B_{n+1}\)は，次の漸化式で表される。 \begin{align*} B_{n+1}=\frac16A_{n}+\frac13B_{n}+\frac16C_{n} \end{align*} よって \( \qquad (\alpha,~\beta,~\gamma )=(\frac16,~\frac13,~\frac16) \qquad \cdots \text{（答）} \)
忘れるな！\(A_n+B_n+C_n=1\)がポイント
あとは漸化式を解くことになりますが，受験生がよく忘れるのが次の式です。 \begin{align*} A_n+B_n+C_n=1 \end{align*} \(n\)回目の状態は，A，B，Cのいずれかなので，それらの確率をたしあわせると1になります。 言われてみれば当たり前のことですが，以外と忘れがちなので注意しておきましょう。それさえ忘れなければ，(2)で作った漸化式を解くことが出来ます。(1)と同じ形であることを見抜けるか？誘導にのるために
次に\(A_n\)の漸化式を作ります。その漸化式が(1)と同じ形になることに気付くかどうかがポイントです。難しいのは，下から3行目の式を見て，「(1)の誘導と同じ式に変形できるはず」と気付くところです。なかなか気付きにくいですよね？
誘導の式と大きく違うところが，\(\frac{1}{15}\)があるところ。これを，左辺の\(A_{n+1}\)と\(A_n\)に振り分けると，下から2行目の式になります。難しいことをしているようですが，実は漸化式を解くときの基本的な手法（いわゆる特性方程式を使う方法）を使っています。わかるかな？
それさえ分かれば，あとは下から1行目のように\(\left(\frac16 \right)^{n-1}\)を\(\left(\frac16 \right)^{n}\)にすれば，(1)と同じ形になります。あとは簡単ですね。
最後の極限は，おまけみたいなものです。
\( \qquad a_n=A_n-\frac25,~a=1-\frac25=\frac35,~p=\frac56,~q=-\frac25,~r=\frac16 \)
と置き換えることにより \begin{align*} A_n-\frac25=&\left( \frac35-\frac{-\frac25 \cdot \frac16}{\frac16-\frac56} \right)\left( \frac56 \right)^{n-1}+\frac{\left( -\frac25 \right)\left( \frac16 \right)^n}{\frac16-\frac56} \\ A_n-\frac25=&\frac12 \left( \frac56 \right)^{n-1} +\frac35 \left( \frac16 \right)^n \\ A_n=&\frac25+ \frac35\left( \frac56 \right)^n+ \frac35\left( \frac16 \right)^n \qquad \cdots \text{（答）} \end{align*} また，十分に日数が経過したとき状態Cである確率は \begin{align*} \lim_{n \to \infty}C_n=& \lim_{n \to \infty}\left( 1-A_n-B_n \right) \\ =&1-\lim_{n \to \infty}A_n-\lim_{n \to \infty}B_n \\ =&1-\frac25-\frac15 \\ =&\frac25 \qquad \cdots \text{（答）} \end{align*}
この問題のポイント
振り返ってみましょう。
この問題が解けるかどうかのポイントは、
- 確率漸化式の問題に慣れているか
- \(A_n+B_n+C_n=1\)を忘れていないか
- 誘導の式と同じ形に変形できるか
※誤植やミスを見つけた方は，ぜひお知らせください。
