令和02年度(2020)久留米大学医学部推薦入試数学過去問の解説授業（１／５）

\(1<\sqrt3<2\)より\(6<5+\sqrt3<71.\)よって \begin{align*} a=6 \quad \quad \cdots \text{（答）} \end{align*} であり，\(b=\left( 5+\sqrt3 \right)-6=\sqrt3-1\)より \begin{align*} \dfrac{1}{b}&=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt3-1}\\ &=\dfrac{\sqrt3+1}{2} \quad \quad \cdots \text{（答）} \end{align*} である。また，\(\dfrac{b}{2}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{\sqrt3-1}{2}+\dfrac{\sqrt3+1}{2}=\sqrt3 \quad \cdots \text{（答）} \)であるから \begin{align*} \dfrac{b^3}{8}+\dfrac{1}{b^3}&=\left( \dfrac{b}{2} \right)^3+ \left( \dfrac{1}{b}\right)^3 \\ &=\left( \dfrac{b}{2}+\dfrac{1}{b}\right)^3-3\cdot \dfrac{b}{2}\cdot \dfrac{1}{b}\cdot \left( \dfrac{b}{2}+\dfrac{1}{b}\right) \\ &=\left( \sqrt3 \right)^3-3\cdot \dfrac12 \cdot \sqrt3 \\ &=\dfrac{3\sqrt3}{2} \quad \quad \cdots \text{（答）} \end{align*}

（例題）\(~3\sqrt{23}~\)の整数部分を求めよ。

（よくない解答）\(\sqrt{16}<\sqrt{23}<\sqrt{25}\)すなわち\(4<\sqrt{23}<5~\)であるから，

\begin{align*} 3\times 4<\sqrt{23}<3\times 5 \\ 12<\sqrt{23}<15 \end{align*}

したがって\(~3\sqrt{23}~\)の整数部分は・・・\(12~?~13~?~14~?\)

\(3\sqrt{23}=\sqrt{207}\)であるから， \begin{align*} \sqrt{196}<\sqrt{207}<\sqrt{225} \\ 14<\sqrt{207}<15 \end{align*} したがって\(3\sqrt{23}\)の整数部分は\(14.\)