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過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 令和2年度入試では全部で5問出題されました。 そのうちの4番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。
令和2年度(2020)推薦入試[4]
問題
\(\textrm{AB}=6,~\textrm{AC}=4\)である\( \triangle \textrm{ABC}\)において，辺\(\textrm{AB}\)を\(4:3\)に内分する点を\(\textrm{D}\)とし，辺\(\textrm{AC}\)を\(2:1\)に内分する点を\(\textrm{E}\)とする。
また，線分\(\textrm{BE}\)と\(\textrm{CD}\)の交点を\(\textrm{P}\)とし，\(\angle \textrm{BAC}\)の二等分線と辺\(\textrm{BC}\)の交点を\(\textrm{Q}\)とするとき， \( \overrightarrow{\textrm{AP}}=\dfrac{\boxed{ ヌ ~}~ \overrightarrow{\textrm{AB}}+\boxed{ ネ ~}~ \overrightarrow{\textrm{AC}}}{\boxed{ ノハ ~}}\)である。 さらに，\(\overrightarrow{\textrm{AP}}=\dfrac{\boxed{ ヒフ ~}}{\boxed{ ヘホ ~}} \overrightarrow{\textrm{AQ}}\)であるから，3点\(\textrm{A, P, Q}\)は一直線上にある。
久留米推薦（令和2年度入試）
解答
メネラウスの定理より \begin{align*} \dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}\cdot \dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PE}}\cdot \dfrac{\mathrm{EC}}{\mathrm{CA}}=& 1 \\ \dfrac43\cdot \dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PE}}\cdot \dfrac13=& 1 \\ \dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PE}}=& \dfrac94 \\ \therefore \mathrm{BP:PE}=& 9:4 \end{align*}
したがって
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AP}}=&\dfrac{4}{13}\overrightarrow{\textrm{AB}}+\dfrac{9}{13}\overrightarrow{\textrm{AE}} \\
=&\dfrac{4}{13}\overrightarrow{\textrm{AB}}+\dfrac{9}{13}\left( \dfrac23\overrightarrow{\textrm{AC}} \right) \\
=&\dfrac{4}{13}\overrightarrow{\textrm{AB}}+\dfrac{6}{13}\overrightarrow{\textrm{AC}}\\
=&\dfrac{4\overrightarrow{\textrm{AB}}+6\overrightarrow{\textrm{AC}}}{13} \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
また，\(\textrm{AQ}\)は\(\angle{\textrm{BAC}}\)の二等分線なので\(\textrm{BQ}:\textrm{QC}=\textrm{AB}:\textrm{AC}=6:4\)であり，
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AQ}}=&\dfrac{4\overrightarrow{\textrm{AB}}+6\overrightarrow{\textrm{AC}}}{10}
\end{align*}
である。したがって，
\begin{align*}
\overrightarrow{\textrm{AP}}=&\dfrac{4\overrightarrow{\textrm{AB}}+6\overrightarrow{\textrm{AC}}}{13} \\
=&\dfrac{10}{13}\cdot \dfrac{4\overrightarrow{\textrm{AB}}+6\overrightarrow{\textrm{AC}}}{10} \\
=&\dfrac{10}{13}\overrightarrow{\textrm{AQ}} \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
となるので，3点\(\textrm{A, P, Q} \)は一直線上にある。
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