過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 令和3年度入試では全部で5問出題されました。 そのうちの４番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。
令和3年度(2021)推薦入試[４]
問題
実数\(~x,~y~\)が\(~x^2+y^2\leqq 2~\)を満たすとき，点\( ~\left( x-y,~xy \right)~\)が存在する領域を\(~D~\)とする。
- \(x-y=s,~xy=t~ \)とするとき，不等式\(~x^2+y^2 \leqq 2~ \)を\(~s~\)と\(~t~\)だけで表すと\(\boxed{\Large\phantom{ppp}}\)となる。
- 実数\(~s,~t~\)に対して，\(x,~y~\)が実数となるような\(~s,~t~\)の条件式は\(\boxed{\Large\phantom{ppp}}\)である。
- 領域\(~D~\)の面積は\(\boxed{\Large\phantom{ppp}}\)である。
久留米推薦（令和3年度入試）
解答
\(x-y=s,~xy=t~\)とする。- \(x^2+y^2 \leqq 2~\)より \begin{align*} (x-y)^2+2xy \leqq & 2 \\ s^2+2t \leqq & 2 \cdots \textrm{（答）} \end{align*}
- \( x+(-y)=s,~x\cdot (-y)=-t~\)より，\(x,~-y~\)は\(~X~\)の2次方程式\(~X^2-sX-t=0~\)の解であり，\(x,~-y~\)は実数である。したがって2次方程式の実数解条件より \begin{align*} s^2+4t \geqq 0 \cdots \textrm{（答）} \end{align*}
- 領域\(~D~\)は図の通り。2曲線\(~s^2+2t=2,~s^2+4t=0~\)の交点は\( (\pm 2,~-1)\)であるから，求める領域\(~D~\)の面積は
\begin{align*}
\int_{-2}^{2}\left\{ \left( -\frac12s^2+1 \right)-\left(-\frac14s^2 \right) \right\}ds =&\frac{|-\frac12-(-\frac14)|}{6}\left\{ 2-(-2)\right\}^3\\
=& \frac83 \cdots \textrm{（答）}
\end{align*}
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