この記事には，久留米大学医学部推薦入試過去問の詳しい解説が載っています。
過去問を通して久留米大学医学部の数学について学べるように，授業のような解説にしています。これまで勉強してきたことを整理し、あなたの数学力をレベルアップしましょう！
解答はすでにこちらの記事で示しております。
令和04年度(2022)久留米大学医学部推薦入試数学［１］
［１］２乗するよりも大切なことがある！三角関数の方程式
大切なことは”三角比は連立できる”と知っておくこと
三角関数を学んでだんだん解けるようになってくると、方程式や不等式を解くのはそう難しくないように思えてきます。よく見る定番の手法をマスターしておけば、解けることが多いからです。
しかし，次のように進めてしまい，解けなくなった人はいるのではないでしょうか。
\( \sin{2x}=2\sin x \cos x \)より
\begin{align*}
\sin x +\frac{\sqrt 3}{3}\cdot 2\sin x \cos x =1 \\
\sin x \left( 1 +\frac{2\sqrt3}{3}\cos x \right)=1 \\
\cdots ?
\end{align*}
\( \sin{2x} \)を見て倍角の公式を思いついたり，左辺を\(\sin x \)でくくったりすることを思いつくことは，悪いことではありません。よく使う手法ですし，それで解けることも多いでしょう。
でもそれらを知っていればOK，というわけではありません。
三角比の方程式では，もっと大切なことがあります。それは，
\[ 三角比の方程式は，連立して解くことができる\]
ということを知っておくことです。
例えば，\( \sin x + \cos x =1\)という式を見て，何を考えますか？
「２乗すれば解けるんじゃないですか？」
その通りです。どの教科書にもよく載っている問題で，２乗すると鮮やかに解けます。
しかしそれだけでは足りないのです。
与えられた式を「\( \sin x \)と\( \cos x \)の式である」と見れば，「公式\(\sin^2 x +\cos^2 x =1\)と連立すれば解けること」に気付くことができます。
このことは，教科書や参考書に明記していないので，意識していない人は多いです。
でもそこまで意識しておかなければ，今回の問題には余計な時間がかかってしまうでしょう。
解答を見てみましょう。
(1) \( \quad \sin x+ \frac{\sqrt{3}}{3}\sin {2x}=1 ~\)より
\begin{align*}
\sin x+ \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 2\sin {x} \cos x=1 \\
\sin x \cos x =\frac{\sqrt3}{2}(1-\sin x )
\end{align*}
\(\sin x=0\)とすると成り立たないので\(\sin x \neq 0.\) \\
両辺を\(\sin x\)で割って
\begin{align*}
\cos x =\frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac{1-\sin x }{\sin x} ~ \cdots [1]
\end{align*}{}
\( \sin^2 x +\cos^2 x =1~\)に代入して
\begin{align*}
\sin^2 x +\left( \frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac{1-\sin x }{\sin x} \right)^2=& 1 \\
\sin^2 x + \frac{3}{4}\cdot \frac{(1-\sin x)^2 }{\sin^2 x} =& 1 \\
4\sin^4 x +3(1-\sin x)^2 =& 4\sin^2 x \\
3(1-\sin x)^2-4\sin^2 x (1-\sin^2 x)=& 0 \\
(1-\sin x ) \left\{ 3(1-\sin x)-4\sin^2 x (1+\sin x ) \right\}=& 0 \\
(1-\sin x ) (-4\sin^3 x -4\sin^2 x -3\sin x +3 )=& 0 \\
(1-\sin x )(1-2\sin x )(2\sin^2 x +3\sin x +3 )=& 0
\end{align*}
\(2\sin^2 x +3\sin x +3 =0~\)を満たす実数\(~x~\)は存在しないので，\(\sin x = 1,~\frac12.\) \\
\( \sin x=1 \)のとき，\([1]\)より\( \cos x=0. \)よって\( x=\frac{\pi}{2}.\) \\
\( \sin x=\frac12 \)のとき，\([1]\)より\( \cos x=\frac{\sqrt3}{2}. \)よって\( x=\frac{\pi}{6}.\) \\
したがって，\( x=\frac{\pi}{6},~\frac{\pi}{2}. \cdots \text{（答）} \)
\(\sin{2x}=2\sin x \cos x \)としたあとは，\(\sin x \)と\( \cos x \)の式になっています。ですから，そこからは連立することを考えればいいのです。
(2)も見てみましょう。
(2)\( \quad \begin{cases}
\sin x + \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\cos x + \sin y = \frac12
\end{cases} \)
より
\begin{align*}
\cos y=& \frac{\sqrt3}{2}-\sin x \cdots [2]\\
\sin y=& \frac12-\cos x \cdots [3]
\end{align*}
\( [2],~[3]\)を\( \sin^2 y +\cos^2 y =1 \)に代入して
\begin{align*}
\left( \frac12-\cos x \right)^2 +\left( \frac{\sqrt3}{2}-\sin x \right)^2=& 1 \\
1-\sqrt3 \sin x -\cos x =&0 \\
1-2\sin \left( x+\frac{\pi}{6} \right) =&0 \\
\sin \left( x+\frac{\pi}{6}\right) =& \frac12
\end{align*}
\( \frac{\pi}{6} \leqq x+\frac{\pi}{6} < \frac{13\pi}{6} \) より
\begin{align*}
x+\frac{\pi}{6} =& \frac{\pi}{6},~\frac{5\pi}{6} \\
x=& 0,~\frac{2\pi}{3}
\end{align*}
\( x=0 \)のとき，\([2],~[3]\)より\( \cos y=\frac{\sqrt3}{2},~\sin y=-\frac12.\)
\(0 \leqq y < 2\pi\) なので\( y=\frac{11\pi}{6}. \)
\( x=\frac{2\pi}{3} \)のとき，\([2],~[3]\)より\( \cos y=0,~\sin y=1.\)
\(0 \leqq y < 2\pi\) なので\( y=\frac{\pi}{2}. \)
したがって \( (x,~y)=\left( 0,~\frac{11\pi}{6} \right),~\left( \frac{2\pi}{3},~\frac{\pi}{2} \right) \cdots \text{（答）}\)
どうですか？連立する意図を感じるでしょう？
もちろん，2つの式をそれぞれ両辺2乗して解くこともできますが，途中で方向性を見失ってしまった人もいると思います。そんなことにならないように，とにかく”連立して解ける”ということを覚えておきましょう。
この問題のポイント
振り返ってみましょう。
この問題が解けるかどうかのポイントは、
- 三角比の方程式を解くための公式・手法を一通り知っているか
- 三角比の方程式は，結局連立すれば解けることを知っているか
です。1番目は知っていても，2番目を意識していなかった人は多いと思います。これを機会に，三角比の方程式を解き直してみて下さい。
※誤植やミスを見つけた方は，ぜひお知らせください。
