令和02年度(2020)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答（3／5）

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過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。令和2年度入試では全部で5問出題されました。そのうちの3番について、問題と解答を以下にまとめています。さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

令和2年度(2020)推薦入試[3]

第6項が11，第25項が49である等差数列 ${a_{n}}$ と，第3項が18，第6項が486である等比数列 ${b_{n}}$ がある。

${a_{n}}$ , ${b_{n}}$ の一般項はそれぞれ $a_{n} = ソ n - タ, b_{n} = チ \cdot ツ^{n - 1}$ である。
$c_{n} = a_{n} b_{n}$ で定められる数列 ${c_{n}}$ において，初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n} = テ \cdot ト^{n} (n - ナ) + ニ$ である。

久留米推薦（令和2年度入試）

等差数列 ${a}$ の初項を $a,$ 公差を $d$ とおくと， $\begin{aligned} a + 5 d = & 11 かつ a + 24 d = 49 \\ a = & 1, d = 2 \\ ∴ a_{n} = & 1 + 2 (n - 1) = 2 n - 1 \dots （答） \end{aligned}$
等比数列 ${b}$ の初項を $b,$ 公比を $r$ （ $r$ は実数）とおくと，
$\begin{aligned} b r^{2} = & 18 かつ b r^{5} = 486 \\ b = & 2, r = 3 \\ ∴ b_{n} = & 2 \cdot 3^{n - 1} \dots （答） \end{aligned}$

解答欄の形より，

r

は実数として解いた。本来，問題文に「公比が実数である数列」と入れておくべきだろう。

$c_{n} = a_{n} b_{n} = 2 (2 n - 1) \cdot 3^{n - 1}$ であるから， $\begin{aligned} S_{n} = & 2 {1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^{2} + 7 \cdot 3^{3} + \dots + (2 n - 1) \cdot 3^{n - 1}} \dots [1] \\ 3 S_{n} = & 2 {1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3^{3} + \dots + (2 n - 3) \cdot 3^{n - 1} + (2 n - 1) \cdot 3^{n}} \dots [2] \end{aligned}$ $[1] - [2]$ より $\begin{aligned} - 2 S_{n} = & 2 {1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3^{3} + \dots + 2 \cdot 3^{n - 1} - (2 n - 1) \cdot 3^{n}} \\ S_{n} = & - {2 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3^{3} + \dots + 2 \cdot 3^{n - 1} - (2 n - 1) \cdot 3^{n} - 1} \\ = & - \frac{2 (3^{n} - 1)}{3 - 1} + (2 n - 1) \cdot 3^{n} + 1 \\ = & - (3^{n} - 1) + (2 n - 1) \cdot 3^{n} + 1 \\ = & 2 (n - 1) \cdot 3^{n} + 2 \dots （答） \end{aligned}$

この問題でさらに力をつけよう！詳しい解説授業はこちら

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