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過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 平成28年度は全部で5問出題されました。 そのうちの２番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。
平成28年度(2016)推薦入試[２]
問題
\(a_1=-\dfrac{5}{3},~a_{n+1}=-\dfrac{3a_n+12}{2a_n+7} ~(n=1,2,3,\cdots )~\)で定められた数列\(~{a_n}~\)について，
- \(b_n=a_n+2~\)とおいて，\(~b_{n+1}~\)を\(~b_n~\)で表せ。
- 一般項\(~\{a_n\}~\)を求めよ。
久留米推薦（平成28年度）
解答
\(b_n=a_n+2~\)より\(~b_1=a_1+2=-\frac{5}{3}+2=\frac13.~\)また, \begin{align*} b_{n+1}=&a_{n+1}+2 \\ =&-\frac{3a_n+12}{2a_n+7}+2 \\ =&\frac{-(3a_n+12)+2(2a_n+7)}{2a_n+7} \\ =&\frac{a_n+2}{2a_n+7} \\ =&\frac{b_n}{2(b_n-2)+7} \\ =&\frac{b_n}{2b_n+3} \cdots （答） \end{align*} 帰納的に\(~b_n \neq 0~\)であるから,\(~b_{n+1}=\frac{b_n}{2b_n+3}~\)の逆数をとると \begin{eqnarray*} \frac{1}{b_{n+1}}=&\frac{2b_n+3}{b_n} \\ =&3 \cdot \frac{1}{b_n}+2 \end{eqnarray*} この式を変形して \begin{eqnarray*} \frac{1}{b_{n+1}}+1=3 \left(\frac{1}{b_n} +1 \right) \end{eqnarray*} これより数列\(~\left\{ \frac{1}{b_n}+1 \right\}~\)は,\(~\)初項\(~\frac{1}{b_1}+1=3+1=4~\),\(~\)公比\(~3~\)の等比数列である。したがってその一般項は \begin{eqnarray*} \frac{1}{b_{n}}+1=4 \cdot 3^{n-1} \end{eqnarray*} よって \begin{eqnarray*} \frac{1}{b_{n}}=&4 \cdot 3^{n-1} -1 \\ b_n=&\frac{1}{4 \cdot 3^{n-1} -1} \end{eqnarray*} したがって \begin{align*} a_n=&~b_n-2 \\ =&\frac{1}{4 \cdot 3^{n-1} -1}-2 \quad \cdots （答） \end{align*}さらに詳しい解説授業もあります
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