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過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 平成29年度は全部で5問出題されました。 そのうちの５番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。
平成29年度(2017)推薦入試[５]
問題
平面において2定点A\(~(2,~4)~,~\)B\(~(1,~5)~\)と点P\(~(x,~y)~\)を考える。次の問いに答えよ。
- \(~|\overrightarrow{\rm{AP}}\cdot \overrightarrow{\rm{AP}} |=4~\)を満たす図形の方程式を求めよ。
- \(~|\overrightarrow{\rm{AP}}\cdot \overrightarrow{\rm{AP}} | \leqq 4~\)と\(~|\overrightarrow{\rm{AB}}\cdot \overrightarrow{\rm{AP}} | \leqq 2~\)を同時に満たす領域の面積を求めよ。
久留米推薦（平成29年度）
解答
(1)\(~\overrightarrow{\rm{AP}}=\overrightarrow{\rm{OP}}-\overrightarrow{\rm{OA}}=(x-2, \ y-4)~\)なので，\(~|\overrightarrow{\rm{AP}} \cdot \overrightarrow{\rm{AP}} |=4~\)より \[ \begin{align*} (x-2)^2 +(y-4)^2 =4 \end{align*} \]
(2)\(~|\overrightarrow{\rm{AP}}\cdot \overrightarrow{\rm{AP}} | \leqq 4~\)を満たす領域は，円\(~(x-2)^2 +(y-4)^2 =4~\)の周上および内部である。
\( \overrightarrow{\rm{AB}}=\overrightarrow{\rm{OB}}-\overrightarrow{\rm{OA}}=(-1,~1)~\)なので，\(~|\overrightarrow{\rm{AB}}\cdot \overrightarrow{\rm{AP}} | \leqq 2~\)より
\[
\begin{align*}
|-(x-2)+(y-4)| \leqq &~2 \\
|-x+y-2| \leqq &~2 \\
-2 \leqq -x+y-2 \leqq &~2 \\
x \leqq y \leqq &~x+4
\end{align*}
\]
この不等式を満たす領域は，直線\(~y=x~\)と直線\(~y=x+4~\)の間および2つの直線上である。 したがって，2つの不等式
\(~|\overrightarrow{\rm{AP}}\cdot \overrightarrow{\rm{AP}} | \leqq 4~\)と\(~|\overrightarrow{\rm{AB}}\cdot \overrightarrow{\rm{AP}} | \leqq 2~\)を同時に満たす領域は図の通りである。 
求める面積を\(~S~\)とすると，
\[
\begin{align*}
S=&\text{（半径\(2\)の円の半分）}+ \text{（1辺の長さが\(2\)の正方形）} \\ =&4 \pi \cdot \frac{1}{2} +2 \cdot2 \\
=&2\pi +4
\end{align*}
\]
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