過去問で学ぶ推薦入試数学

平成29年度(2017)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答(3/5)

過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 平成29年度は全部で5問出題されました。 そのうちの3番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

平成29年度(2017)推薦入試[3]

問題

2次方程式\(~2x^2-4x-2a+1=0~\)が異なる2つの偶数解をもつ時,\(~a~\)がとりうる値を小さい順に並べた数列\(~{a_n}~\)を考える。次の問いに答えよ。ただし,\(~a~\)は実数,\(~n~\)は正の整数とする。また\(~0~\)は偶数とする。 
(1) \( \quad ~a_1~\)の値を求めよ。 (2) \( \quad ~a_n~\)を\(~n~\)を用いて表せ。 (3) \( \quad ~S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_k}~\)を求めよ。

久留米推薦(平成29年度)

解答その1

方程式より \[ \begin{align*} x^2-2x-a+\frac{1}{2}=&0 \\ x=&1 \pm \sqrt{1-\left( -a+ \frac{1}{2} \right)} \\ =&1 \pm \sqrt{a+ \frac{1}{2}} \end{align*} \] 与えられた方程式が整数解をもつ条件は\( ~\sqrt{a+ \frac{1}{2}}~ \)が奇数であることである。その奇数を自然数\(k\)を用いて\(~2k-1~\)とし,そのときの\(a\)の値を\(a_k\)とすると \[ \begin{align*} \sqrt{a_k+ \frac{1}{2}}=2k-1 \\ a_k+ \frac{1}{2}=\left(2k-1\right)^2 \\ a_k=4k^2-4k+\frac{1}{2} \end{align*} \] \(~k~\)は自然数であるから,\(~a_k~\)は単調に増加する。

(1)\( \quad a_1=\frac12 \) (2)\( \quad a_n=4n^2-4n+\frac{1}{2}\) (3) \( \quad \begin{align*} S_n=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left( 4k^2-4k+\frac{1}{2} \right)} \\ =&4 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-4 \cdot \frac{1}{2}n(n+1)+\frac{1}{2}n \\ =&\frac{1}{6}n \left\{4(n+1)(2n+1)-12(n+1)+3 \right\} \\ =&\frac{1}{6}n(8n^2-5) \end{align*} \)

解答その2

\(~f(x)=2x^2-4x-2a+1~\)とおくと,\(~y=f(x)~\)の軸は\(~x=1~\)である。 \(~k~\)を自然数として,方程式\(~2x^2-4x-2a+1=0~\)が偶数解\(~x=2k~\)をもつとき,下図よりもう一方の解は\(~x=2-2k~\)である。

このときの定数\(~a~\)を\(~a_k~\)とすると,次の恒等式が成り立つ。

\[ \begin{align*} 2x^2-4x-2a_k+1=2(x-2k)(x-2+2k) \end{align*} \] 両辺の定数項を比較して \[ \begin{align*} -2a_k+1=&4k(2-2k) \\ a_k=&4k^2-4k+\frac{1}{2} \end{align*} \]

\(~k~\)は自然数であるから,\(~a_k~\)は単調に増加する。

(1)\( \quad a_1=\frac12 \) (2)\( \quad a_n=4n^2-4n+\frac{1}{2}\) (3) \( \quad \begin{align*} S_n=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left( 4k^2-4k+\frac{1}{2} \right)} \\ =&4 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-4 \cdot \frac{1}{2}n(n+1)+\frac{1}{2}n \\ =&\frac{1}{6}n \left\{4(n+1)(2n+1)-12(n+1)+3 \right\} \\ =&\frac{1}{6}n(8n^2-5) \end{align*} \)

さらに詳しい解説授業もあります

この問題の解説で、さらに力をつけよう!詳しい解説授業はこちら

元気が出る
質問添削サポートコーチング
質問できなくて困っていませんか?
記述答案を添削して欲しいですか?
だったらこちらへ!
過去問で学ぶ推薦入試数学問題集

久留米大学医学部推薦入試ガイド
サイトもいいけど、やっぱり紙の本で読みたい!
もっと過去問が欲しい!
そんなご要望にお答えして作成しました!
もっと詳しく!

Sponsored Link




Copy Protected by Chetan's WP-Copyprotect.