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過去問を利用して、久留米大学医学部一般入試の数学について学びましょう。 平成30年度は全部で６問出題されました。 そのうちの３番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。
平成30年度(2018)一般入試[３]
問題
- \(f(x)~\)が2次関数であるとき，頂点の\(~x~\)の座標を\(~a~\)を用いて表すと\(\boxed{\Large\phantom{ppp}}\)である。
- \(-2 \leqq x \leqq 2~ \)における\(~f(x)~\)の最大値は\(\boxed{\Large\phantom{pppp}}\)である。
- 方程式\(~f(x)=0~\)が実数解をもつとき，\(-2 \leqq x \leqq 2~ \)における\(~f(x)~\)の最小値は\(~a=\boxed{\Large\phantom{pppp}}\)のとき\(\boxed{\Large\phantom{pppp}}\)である。
久留米一般（平成30年度）
解答
- \(a<0 \)とする。 \begin{align*} f(x)=a \left\{ x-\left( \frac{2-a}{a} \right) \right\}^2+\frac{2a^2+2a-4}{a} \end{align*} したがって，頂点の\(x~\)座標は\( \frac{2-a}{a}. \quad \cdots \text{（答）} \)
-
\([1]~a=0\)のとき
\( \qquad f(x)=-4x-2~\)であるから，\(f(x)~\)の最大値は\(~f(-2)=6~\)である。\([2]~a<0\)のとき
\( \qquad f(x)~\)は上に凸の2次関数であり，軸について \[ x=\frac{2-a}{a}=\frac{2}{a}-1 <-1 \]\(\quad ~(i)~\) \(\frac{2-a}{a}<-2 \) すなわち \( -2 < a < 0~ \)のとき
\( \qquad f(x)~\)の最大値は\(~f(-2)=3a+6~ \cdots [1]~\)である。\(\quad ~(ii)~\) \(-2 \leqq \frac{2-a}{a}<-1~ \) すなわち \(~a \leqq -2~\)のとき
\( \qquad f(x)~\)の最大値は\(~f(\frac{2-a}{2})=\frac{2a^2+2a-4}{a} ~\)である。式\([1]\)は，\(~a=0~\)のとき\(~6~\)となるので、\(~a=0~\)のときも成り立つ。以上より
\( -2 < a \leqq 0 \) のとき\(~\) 最大値 \(~3a+6\) ，\( a \leqq -2~\) のとき \(~\) 最大値 \(\frac{2a^2+2a-4}{a} \quad \cdots \text{（答）} \)
-
\(a=0~\)のとき，\(f(x)=-4x-2~\)であるから方程式\(~f(x)=0~\)は実数解をもつ。このとき，\(f(x)~\)の最小値は\(~f(2)=-10.~\)
\( \quad a<0~\)のとき，方程式\(~f(x)=0~\)が実数解をもつ条件は，頂点の\(~y~\)座標が\(~0~\)以上となることであるから
\begin{align*}
\frac{2a^2+2a-4}{a} \geqq 0 \quad &\text{かつ} \quad a<0\\
a^2+a-2 \leqq 0 \quad &\text{かつ} \quad a<0\\
(a+2)(a-1) \leqq 0 \quad &\text{かつ} \quad a<0\\
-2 \leqq a < 0
\end{align*}
このとき，軸の位置に注意すると\(~f(x)~\)の最小値は
\begin{align}
f(2)=11a-10 \cdots [2]
\end{align}
式\([2]\)は\(~a=0~\)とすると\(~-10~\)となるので，\(a=0~\)のときも成り立つ。よって\(-2\leqq a \leqq 0~\)のとき，\(~f(x)~\)の最小値は\(~11a-10~\)となる。
これを\(~a~\)の関数\(~g(a)=11a-10~\)としたとき，\(g(a)~\)は\(~a=-2~ \)のとき，最小値\(~g(-2)=-32~ \cdots \)（答）をとる。
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