令和3年度(2021)久留米大学医学部推薦入試数学過去問の解説授業（３／５）

\(t=2^{\frac{x}{2}}+2^{-\frac{x}{2}}\)より \begin{align*} t^2=& \left(2^{\frac{x}{2}} \right)^2+ 2\cdot2^{\frac{x}{2}} \cdot 2^{-\frac{x}{2}} +\left(2^{-\frac{x}{2}} \right)^2 \\ =& 2^x+2+2^{-x} \\ \therefore 2^x+2^{-x}=& t^2-2 \\ t^3=& \left(2^{\frac{x}{2}} \right)^3+ 3\cdot \left(2^{\frac{x}{2}}\right)^2 \cdot 2^{-\frac{x}{2}} +3\cdot 2^{\frac{x}{2}} \cdot \left( 2^{-\frac{x}{2}} \right)^2 +\left(2^{-\frac{x}{2}} \right)^3 \\ =& 8^{\frac{x}{2}}+3\cdot 2^{\frac{x}{2}}+3\cdot 2^{-\frac{x}{2}}+8^{-\frac{x}{2}} \\ \therefore 8^{\frac{x}{2}}+8^{-\frac{x}{2}}=& t^3-3t \end{align*} したがって \begin{align*} y=&(8^{\frac{x}{2}}+8^{-\frac{x}{2}})-3(2^x+2^{-x}) -6(2^{\frac{x}{2}}+2^{-\frac{x}{2}})+4 \\ =&(t^3-3t)-3(t^2-2)-6t+4 \\ =&t^3-3t^2-9t+10 \quad \cdots \textrm{（答）} \end{align*} \(2^{\frac{x}{2}}>0,~2^{-\frac{x}{2}}>0\)であるから，相加平均と相乗平均の関係により \begin{align*} 2^{\frac{x}{2}}+2^{-\frac{x}{2}} \geqq & 2 \sqrt{2^{\frac{x}{2}} \cdot 2^{-\frac{x}{2}}} \\ t \geqq & 2 \quad \cdots \textrm{（答）} \end{align*} 等号は\(~2^{\frac{x}{2}}=2^{-\frac{x}{2}}~\)すなわち\(~x=0~\)のとき成り立つ。

\(f(t)=t^3-3t^2-9t+10~\)とおくと \begin{align*} f'(t)=& 3t^2-6t-9 \\ =& 3(t+1)(t-3) \end{align*} \(t \geqq 2~\)において\( ~f'(t)=0~\)を満たすのは\(~t=3~\)である。
\(t \geqq 2~\)における増減表は

よって\(~y~\)は，\(t=3~\)で最小値\(~-17 \quad \cdots \textrm{（答）}\)をとる。

\(t=3~\)のとき

\begin{align*} 2^{\frac{x}{2}}+2^{-\frac{x}{2}}=&3 \\ \left(2^{\frac{x}{2}}\right)^2-3\cdot 2^{\frac{x}{2}}+1=&0 \\ 2^{\frac{x}{2}}=&\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \\ \frac{x}{2}=&\log_2 \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \\ x=&\log_2 \left(\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\right)^2 \\ =&\log_2 (7 \pm 3\sqrt{5}) -1 \quad \cdots \textrm{（答）} \end{align*}